Grade 10 1992

Kolike su duljine kateta pravokutnog trokuta kojemu je $c$ duljina hipotenuze, a $\rho$ polumjer upisane kružnice.

Neka su $z_1, z_2, z_3, z_4$ kompleksni brojevi redom u $I, II, III, IV$ kvadrantu kompleksne ravnine i $\alpha_i = |z_i - z_{i+1}| - |z_i + z_{i+1}|$, $z_5 = z_1$, $i = 1, 2, 3, 4$. Dokaži da je bar jedan od brojeva $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ nenegativan.

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

U ravnini su dane $1992$ točke od kojih nikoje tri ne leže na istom pravcu. Dokaži da postoji $498$ četverokuta kojima su te točke vrhovi takvi da se nikoja dva na sijeku.