Grade 10 1996

Ako funkcija $f$ zadovoljava uvjete

(a) $f(1) = 1$,

(b) $f(x + y) = f(x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbf{R}$,

(c) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^2}, \quad \forall x \in \mathbf{R}, \quad x \neq 0$,

koliko je $f(\sqrt{1996})$?

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?

Neka je $A_1A_2A_3A_4$ konveksan četverokut, $S$ sjecište njegovih dijagonala. Označimo sa $s_k$ površinu trokuta $A_kSA_{k+1}$, ($A_5 = A_1$), $k = 1, 2, 3, 4$. Dokažite da je $$s_2^2 = s_1 s_3 \quad \text{i} \quad 2 s_4 = s_1 + s_3$$ ako i samo ako je $A_1A_2A_3A_4$ paralelogram.

Neka je $\overline{OA}$ polumjer i $\overline{OB}$ tetiva kružnice $k$ polumjera $R$, $C$ sjecište pravca $OB$ i tangente na $k$ u točki $A$, $T$ točka na dužini $\overline{OB}$ takva da je $|OT| = |BC|$ i $T'$ projekcija od $T$ na $\overline{OA}$. Izrazite $y = |T'T|$ kao funkciju od $x = |OT'|$.