Grade 10 1998

Riješite jednadžbu $$2z^3 - (5 + 6i)z^2 + 9iz + 1 - 3i = 0$$ ako se zna da je jedno njezino rješenje realno.

Dokažite da za svaka dva realna broja $a \geq 0$ i $b \geq 0$ vrijedi nejednakost $$\frac{a + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{ab^2} + b}{4} \leq \frac{a + \sqrt{ab} + b}{3}.$$

Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ izabrane su točke $E$ i $F$, tim redom, takve da je $|BE| = |BF|$. Neka je $\overline{BN}$ visina trokuta $BCE$. Dokažite da je trokut $DNF$ pravokutan.

Neka su $m$ i $n$ prirodni brojevi, $a = (n + 1)^m - n$ i $b = (n + 1)^{m+3} - n$.

(a) Dokažite da su $a$ i $b$ relativno prosti ako $m$ nije djeljiv s $3$.

(b) Odredite sve brojeve $m$ i $n$ za koje $a$ i $b$ nisu relativno prosti.