Grade 10 1999

Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$ trokuta $ABC$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL| = |CM|$, dokažite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$, gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

U zavisnosti o parametru $a$ nađite rješenja jednadžbe $$x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a = 0.$$ Za koje realne brojeve $a$ su sva rješenja realna?

Neka su $a, b, c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $abc = 1$. Dokažite nejednakost $$a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b} \leq 1.$$

Na jednom turniru sudjelovalo je $n$ košarkaških ekipa. Svaka ekipa odigrala je sa svakom drugom točno jednu utakmicu. Neriješenih ishoda nije bilo. Ako na kraju turnira $i$-ta ekipa ima $x_i$ pobjeda i $y_i$ poraza $(i = 1, 2, \ldots, n)$, dokažite da je $$x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2.$$