Grade 10 2003

Nadite sve parove realnih brojeva $(x,y)$ za koje vrijedi $$(2x + 1)^2 + y^2 + (y - 2x)^2 = \frac{1}{3}.$$

Točka $M$ je unutar kvadrata $ABCD$. Označimo s $A_1, B_1, C_1, D_1$ druge točke presjeka pravaca $AM, BM, CM, DM$, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu $ABCD$. Dokažite da je $$|A_1B_1| \cdot |C_1D_1| = |A_1D_1| \cdot |B_1C_1|.$$

Za pozitivne brojeve $a_1, a_2, \ldots, a_n, n \geq 2$ označimo $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = s$. Dokažite nejednakost $$\frac{a_1}{s - a_1} + \frac{a_2}{s - a_2} + \ldots + \frac{a_n}{s - a_n} \geq \frac{n}{n - 1}.$$

Koliko najmanje brojeva može imati skup $A$ prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak $1$, najveći $100$, i ima svojstvo da je svaki broj iz $A$, osim $1$, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz $A$?