Grade 10 2004

Pojedini dijelovi pravilnog peterokuta $ABCDE$ imaju površine označene sa $x$, $y$, $z$ kao na slici. Ako je zadana površina $x$, nadite površine $y$ i $z$, te površinu cijelog peterokuta.

Dokažite da za pozitivne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi nejednakost $$\frac{a^2}{(a + b)(a + c)} + \frac{b^2}{(b + c)(b + a)} + \frac{c^2}{(c + a)(c + b)} \geq \frac{3}{4}.$$

Brojevi $(p_n)$ za $n \in \mathbb{N}$ definirani su na sljedeći način: $p_1 = 2$ i za $n \geq 2$, $p_n$ je najveći prosti djelitelj od $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$. Dokažite da je $p_n \neq 5$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1,1)$ po sljedećim pravilima:

(i) iz točke $(a,b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a,b)$, odnosno $(a,2b)$;

(ii) ako je $a > b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a - b,b)$, a ako je $a < b$, žaba smije skočiti iz $(a,b)$ u $(a,b - a)$.

Da li žaba može stići u točku

(a) $(24,40)$,

(b) $(40,60)$,

(c) $(24,60)$,

(d) $(200,4)$?