Grade 10 2005

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi, $a \neq 0$. Ako je $x_1$ jedno rješenje jednadžbe $$ax^2 + bx + c = 0$$ i $x_2$ jedno rješenje jednadžbe $$-ax^2 + bx + c = 0,$$ dokažite da je tada jedno rješenje $x_3$ jednadžbe $$\frac{a}{2}x^2 + bx + c = 0,$$ između $x_1$ i $x_2$, tj. $x_1 \leq x_3 \leq x_2$ ili $x_2 \leq x_3 \leq x_1$.

Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1$, $O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$, $CAU$ i $ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.

Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi veći od $1$, dokažite da za svaki realni broj $r$ vrijedi nejednakost $$(\log_a bc)^r + (\log_b ca)^r + (\log_c ab)^r \geq 3 \cdot 2^r.$$

Dokažite da u svakom skupu od $11$ prirodnih brojeva postoji njih $6$, čiji je zbroj djeljiv sa $6$.