Grade 10 2010

Dokaži da svaki kompleksni broj $z$ za koji postoji točno jedan kompleksni broj $a$ takav da je $$z^3 + (2 - a) z^2 + (1 - 3a) z + a^2 - a = 0$$ zadovoljava jednakost $z^3 = 1$.

Odredi sva realna rješenja sustava $$\begin{aligned} (1 + 4x^2) y &= 4z^2, \\ (1 + 4y^2) z &= 4x^2, \\ (1 + 4z^2) x &= 4y^2. \end{aligned}$$

a) Dokaži da za međusobno različite prirodne brojeve $a$ i $b$ postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ takvih da su brojevi $a + n$ i $b + n$ relativno prosti.

b) Postoje li međusobno različiti prirodni brojevi $a$, $b$, $c$ i $d$ za koje ne postoji prirodni broj $n$ takav da su brojevi $a + n$, $b + n$, $c + n$, $d + n$ u parovima relativno prosti?

Upisana kružnica dodiruje stranice $AB$ i $AC$ trokuta $ABC$ u točkama $M$ i $N$. Neka je $P$ sjecište pravca $MN$ i simetrale kuta $\measuredangle ABC$. Dokaži da je $BP \perp CP$.

Na početku je u svaki od kvadrata raspoređenih kao na slici upisana nula.

U svakom potezu odabire se jedan od kvadrata te se istovremeno brojevi koji se nalaze u tom kvadratu i u svim njemu susjednim kvadratima uvećavaju za jedan.

Dokaži da je nakon određenog broja poteza:

a) moguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2010$;

b) nemoguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2011$.