Grade 10 2012

Neka je $x$ realan broj takav da su $x^2 - x$ i $x^4 - x$ cijeli brojevi. Dokaži da je $x$ cijeli broj.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$4x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 9 = 0,$$ gdje je s $\lfloor x \rfloor$ označen najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Jednakokračnom trokutu $ABC$ ($|AB| = |AC|$) opisana je kružnica. Tangente te kružnice s diralištima u točkama $A$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Ako je $\measuredangle DBC = 30°$, dokaži da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokaži da za pozitivne realne brojeve $a$, $b$ i $c$ za koje je $a + b + c \leqslant 3$ vrijedi $$\frac{a + 1}{a(a + 2)} + \frac{b + 1}{b(b + 2)} + \frac{c + 1}{c(c + 2)} \geqslant 2.$$

Može li skakač običi ploču dimenzija $4 \times 2012$ i vratiti se na polazno polje tako da pritom stane na svako polje točno jednom?

Skakač je figura koja se kreće kao u šahu: s polja označenog kružićem može se pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči).