Grade 10 2013

Neka je $a$ kompleksni broj takav da vrijedi

$$a^5 + a + 1 = 0.$$

Koje vrijednosti može poprimiti izraz $a^2 (a - 1)$?

Ako za realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \left(y + \sqrt{y^2 + 1}\right) = 1,$$

dokaži da je $x + y = 0$.

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednakost

$$y^2 = x^3 + 3x^2 + 2x.$$

Dan je trapez $ABCD$ kojem su kutovi uz osnovicu $\overline{AB}$ šiljasti, a dijagonale su mu međusobno okomite i sijeku se u točki $O$. Polupravac $OA$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{BD}$ u točki $M$, a polupravac $OB$ siječe kružnicu s promjerom $\overline{AC}$ u točki $N$.

Dokaži da točke $M$, $N$, $C$ i $D$ leže na jednoj kružnici.

Dana je tablica $6 \times 6$.

a) Ako je označeno bilo kojih $9$ polja tablice, dokaži da je moguće odabrati tri retka i tri stupca koji sadrže sva označena polja.

b) Označi $10$ polja tablice tako da koja god tri retka i tri stupca odaberemo, uvijek postoji bar jedno označeno polje koje nije u odabranim stupcima niti recima.