Grade 10 2015

Neka su $a$, $b$, $c$ i $d$ međusobno različiti realni brojevi. Ako su $a$ i $b$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10cx - 11d = 0$, a $c$ i $d$ rješenja jednadžbe $x^{2} - 10ax - 11b = 0$, odredi zbroj $a + b + c + d$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$p^m - n^3 = 8.$$

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|AC| > |AB|$. Neka je $N$ nožište visine iz $A$ na stranicu $\overline{BC}$. Neka je točka $P$ na produžetku dužine $\overline{AB}$ preko vrha $B$, te neka je točka $Q$ na produžetku dužine $\overline{AC}$ preko vrha $C$ tako da je $BPQC$ tetivni četverokut. Ako vrijedi $|NP| = |NQ|$, dokaži da je $N$ središte kružnice opisane trokutu $APQ$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a}{a + b^2} + \frac{b}{b + c^2} + \frac{c}{c + a^2} \leqslant \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right).$$

Skakavac se na početku nalazi u ishodištu brojevnog pravca, na broju $0$, a zatim skače uvijek u istom smjeru. Za prirodni broj $k$, skakavac u prvom skoku dolazi na broj $1$, a svaki sljedeći skok je točno $k$ puta dulji od prethodnog. Na mjestu svakog višekratnika broja $2015$ nalazi se rupa.

Odredi sve prirodne brojeve $k$ takve da skakavac može skočiti $2015$ puta, a da pritom ne uskoči u rupu.