Grade 10 2022

Koeficijenti $a$, $b$ i $c$ kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$ tri su uzastopna prirodna broja (u nekom od šest mogućih poredaka), a njezina su rješenja realni brojevi. Dokaži da je jedno od rješenja broj $-1$.

Dvije kružnice polumjera 1 i 3 diraju se izvana u točki $A$, a njihova vanjska zajednička tangenta ih dira u točkama $B$ i $C$. Odredi zbroj kvadrata duljina stranica trokuta $ABC$.

Postoje li prirodni brojevi $k$ i $m$ takvi da je $2022^k + 2022^m$ kvadrat prirodnog broja?

Štapić je kvadar dimenzija $1 \times 1 \times 2$, a posuda je tijelo dobiveno uklanjanjem kockice $1 \times 1 \times 1$ iz kvadra dimenzija $3 \times 3 \times 2$ na sredini jedne od dviju polovica $3 \times 3 \times 1$. Ako je dopušteno koristiti koliko god je potrebno štapića i posuda, koliko je najmanje takvih tijela potrebno za sastavljanje kocke dimenzija $303 \times 303 \times 303$ bez rupa i preklapanja? Tijela je dopušteno rotirati.

Dani su pozitivni realni brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $abc = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{a + c\sqrt{a}}{a^2b + c + 2} + \frac{b + a\sqrt{b}}{b^2c + a + 2} + \frac{c + b\sqrt{c}}{c^2a + b + 2} \leq \frac{1}{2}(a + b + c).$$