Grade 11 1994

Na hipotenuzi $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ izabrana je točka $P$ tako da je $|PA| = m$, $|PB| = n$, $|PC| = d$. Pokažite da je $$a^2 m^2 + b^2 n^2 = c^2 d^2,$$ gdje je $|BC| = a$, $|CA| = b$, $|AB| = c$.

Riješite jednadžbu $$2 \cos\left(\frac{\pi}{2}(1 + x)\right) = \frac{1}{x^2} + x^2.$$

Volumen kocke $ABCDA_1B_1C_1D_1$ jednak je $V$. Nađite volumen zajedničkog dijela tetraedara $AB_1CD_1$ i $A_1BC_1D$.

U ravnini je dano pet točaka $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ sa cjelobrojnim koordinatama. Pokažite da postoji bar jedan par $(P_i, P_j)$ za $i \neq j$ tako da pravac $P_iP_j$ sadrži neku točku $Q$ sa cjelobrojnim koordinatama koja leži između $P_i$ i $P_j$.