Grade 11 1999

Trokut $ABC$ s kutevima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ upisan je u pravokutnik $APQR$ tako da točka $B$ leži na stranici $\overline{PQ}$, a točka $C$ na stranici $\overline{QR}$. Dokažite da je $$\operatorname{ctg}\alpha \cdot P(BCQ) = \operatorname{ctg}\beta \cdot P(ACR) + \operatorname{ctg}\gamma \cdot P(ABP).$$

Baza piramide $ABCDV$ je pravokutnik $ABCD$ čije su duljine stranica $|AB| = a$ i $|BC| = b$, a svi bočni bridovi su duljine $c$. Odredite površinu presjeka te piramide ravninom koja prolazi dijagonalom $\overline{BD}$ baze i paralelna je bočnom bridu $\overline{VA}$.

Za duljine $a$, $b$ i $c$ stranica trokuta vrijedi $a \geq b \geq c$. Vrhovi trokuta središta su triju krugova s nenegativnim polumjerima. Nikoja dva kruga nemaju zajedničkih unutarnjih točaka, niti obuhvaćaju neki od preostala dva vrha trokuta. Kolika je maksimalna površina koju pokrivaju ti krugovi?

Možemo li iz svakog deveteročlanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati četiri različita elementa $a$, $b$, $c$ i $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri dijeljenju s $20$?