Grade 11 2000

Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\measuredangle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

Pet različitih četveroznamenkastih brojeva koji počinju s istom znamenkom imaju svojstvo da četiri od njih dijele zbroj svih pet brojeva. Nadite sve takve petorke.

Kvadar je presječen ravninom tako da je presjek pravilni šesterokut. Dokažite da je to moguće samo ako je kvadar kocka.

Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost $$\left\lfloor \log_2 n \right\rfloor + \left\lfloor \log_3 n \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \log_n n \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[3]{n} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \sqrt[n]{n} \right\rfloor.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)