Grade 11 2003

U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, $\alpha = \measuredangle CAB$, $\beta = \measuredangle ABC$, $\gamma = \measuredangle BCA$.

a) Ako je $\alpha = 3\beta$, dokažite da je $(a^2 - b^2)(a - b) = bc^2$.

b) Da li vrijedi obrat? Obrazložite!

Dokažite jednakost $$\left\lfloor \frac{n(n + 1)}{4n - 2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{n + 1}{4} \right\rfloor,$$ za svaki prirodan broj $n > 2$.

Svi bridni kutovi pri vrhu $D$ tetraedra $ABCD$ jednaki su $\alpha$, a kutovi između dviju strana tetraedra kojima je jedan vrh $D$ jednaki su $\varphi$. Dokažite da postoji točno jedan kut $\alpha$ za koji je $\varphi = 2\alpha$.

Imamo $8$ kockica duljine brida $1$ čije su $24$ strane obojene plavo, a preostalih $24$ crveno. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka $(2 \times 2 \times 2)$ na čijem oplošju će biti jednak broj plavih i crvenih kvadrata $(1 \times 1)$.