Grade 11 2010

Neka je točka $S$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ s kutovima $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$. Neka pravac $CS$ siječe pravac $AB$ u točki $D$ koja se nalazi između točaka $A$ i $B$. Dokaži da vrijedi $$\frac{|SD|}{|SC|} = \left| \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} \right|.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $x$ i $y$ za koje je $\dfrac{xy^2}{x + y}$ prosti broj.

Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $AB$ i $AC$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $|AC| = 2|OP|$, dokaži da vrijedi $|AB| = 2|OQ|$.

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1, x_2, \ldots, x_n$ vrijedi nejednakost: $$(x_1 + x_2 + \cdots + x_i + \cdots + x_n)^2 \geqslant n (x_1 x_2 + x_2 x_3 + \cdots + x_i x_{i+1} + \cdots + x_n x_1).$$

Na natjecanju je bilo $30$ strijelaca. Svaki natjecatelj gađa $16$ puta metu koja je podijeljena na dva dijela, A i B. Ako pogodi u dio A natjecatelj dobiva $10$ bodova, a ako pogodi u dio B dobiva $5$ bodova. Na kraju natjecanja utvrđeno je da je broj pogodaka u dio B veći od polovine ukupnog broja odapetih strelica te da je ukupan broj promašaja jednak ukupnom broju pogodaka u dio A.

Dokaži da su barem dva natjecatelja ostvarila isti broj bodova.