Grade 11 2012

Dokaži da ne postoji prirodni broj $n \geqslant 2$ takav da je funkcija $$f(x) = \cos(x\sqrt{1}) + \cos(x\sqrt{2}) + \cdots + \cos(x\sqrt{n})$$ periodična.

Neka je $ABC$ trokut s pravim kutom u vrhu $C$. Neka je $D$ točka na stranici $\overline{AC}$ i $E$ točka na dužini $\overline{BD}$ tako da vrijedi $\measuredangle ABC = \measuredangle DAE = \measuredangle AED$. Dokaži da je $|BE| = 2|CD|$.

Za dani prosti broj $p$ odredi sve cijele brojeve $n$ takve da je $\sqrt{n^2 + pn}$ cijeli broj.

Duljine stranica četverokuta su cjelobrojne, a svaka od njih je djelitelj zbroja preostalih triju duljina. Dokaži da su bar dvije stranice tog četverokuta sukladne.

Na ploči su zapisani neki cijeli brojevi. U svakom koraku odabiremo brojeve $a$ i $b$ koji se nalaze na ploči, obrišemo ih i umjesto njih zapišemo brojeve $3a - b$ i $13a - 3b$.

Ako su na početku na ploči brojevi $1, 2, 3, 4, \ldots, 2011, 2012$, mogu li se nakon konačnog broja koraka na ploči nalaziti brojevi $2, 4, 6, 8, \ldots, 4022, 4024$?