Grade 11 2015

U trokutu $ABC$ vrijedi $|BC| + |AC| = 2|AB|$ i $\measuredangle BAC - \measuredangle CBA = 90^\circ$.

Odredi kosinus kuta $\measuredangle ACB$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(p, m, n)$ takve da je $p$ prost broj i da vrijedi

$$2^m p^2 + 1 = n^5.$$

U nekoj državi između svaka dva grada postoji ili izravna autobusna ili izravna željeznička veza (sve veze su dvosmjerne i ne prolaze ni kroz jedan drugi grad).

Dokaži da je gradove u toj državi moguće rasporediti u dva disjunktna skupa tako da je sve gradove u jednom skupu moguće obići putujući samo željeznicom tako da se nijedan grad ne posjeti dvaput, a sve gradove u drugom skupu putujući samo autobusom tako da se nijedan grad ne posjeti dvaput.

Na stranici $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $D$ i $E$ tako da je točka $D$ između $C$ i $E$. Neka je $F$ sjecište kružnice opisane trokutu $ABD$ s pravcem koji prolazi kroz točku $E$ i paralelan je s $BC$ tako da se točke $E$ i $F$ nalaze s različitih strana pravca $AB$. Neka je $G$ sjecište kružnice opisane trokutu $BCD$ s pravcem koji prolazi kroz točku $E$ i paralelan je s $AB$ tako da se točke $E$ i $G$ nalaze s različitih strana pravca $BC$.

Dokaži da točke $D$, $E$, $F$ i $G$ leže na istoj kružnici.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c \geqslant 1$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a - bc}{a + bc} + \frac{b - ca}{b + ca} + \frac{c - ab}{c + ab} \leqslant \frac{3}{2}.$$