Grade 11 2019

Dan je trokut $ABC$ takav da je $|AB| = 4$, $|BC| = 7$, $|AC| = 5$. Označimo $\alpha = \measuredangle BAC$. Izračunaj

$$\sin^6 \frac{\alpha}{2} + \cos^6 \frac{\alpha}{2}.$$

Četvorku prirodnih brojeva $(a, b, c, d)$ zovemo zelenom ako vrijedi

$$b = a^2 + 1, \quad c = b^2 + 1, \quad d = c^2 + 1$$

i $D(a) + D(b) + D(c) + D(d)$ je neparan, pri čemu je $D(k)$ broj pozitivnih djelitelja prirodnog broja $k$.

Koliko ima zelenih četvorki čiji su svi članovi manji od 1 000 000?

Na ploču dimenzija $20 \times 19$ postavljene su pločice dimenzija $3 \times 1$ tako da prekrivaju točno tri polja ploče, a međusobno se ne preklapaju i ne dodiruju, čak ni u vrhovima.

Odredi najveći mogući broj pločica $3 \times 1$ na toj ploči.

Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a + b + c = 3$. Dokaži da vrijedi

$$\frac{a^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2a - 1} + \frac{b^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2b - 1} + \frac{c^2 + 6}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2c - 1} \leq 3.$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ takav da je $|BC| < |CA| < |AB|$. Neka su $D$, $E$ i $F$ redom nožišta njegovih visina iz vrhova $A$, $B$ i $C$. Pravac točkom $F$ paralelan s $DE$ siječe pravac $BC$ u točki $M$, a simetrala kuta $\measuredangle MFE$ siječe pravac $DE$ u točki $N$.

Dokaži da je točka $F$ središte kružnice opisane trokutu $DMN$ ako i samo ako je točka $B$ središte kružnice opisane trokutu $FMN$.