Grade 11 2020

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a + b = cd, \quad ab = c + d.$$

Dana su četiri različita realna broja iz intervala $\langle 0, 1\rangle$. Dokaži da među njima postoje dva broja, $x$ i $y$, takva da vrijedi $$0 < x\sqrt{1 - y^2} - y\sqrt{1 - x^2} < \frac{1}{2}.$$

Za točku $L$ koja se nalazi unutar trokuta $ABC$ vrijedi $$\measuredangle LBC = \measuredangle LCA = \measuredangle LAB = \measuredangle CAL.$$

Dokaži da je umnožak duljina dviju stranica tog trokuta jednak kvadratu duljine treće stranice.

Neka su $A$ i $B$ prirodni brojevi, a $S$ skup svih točaka s cjelobrojnim koordinatama unutar pravokutnika s vrhovima $(0, 0)$, $(A, 0)$, $(A, B)$ i $(0, B)$. Točke s cjelobrojnim koordinatama na rubu tog pravokutnika su obojene crvenom, a unutar skupa $S$ jednom od tri boje: plavom, zelenom ili crvenom.

Za jedinični kvadrat kojemu su sva četiri vrha u $S$ kažemo da je poseban ako je točno jedan par njegovih susjednih vrhova istobojan. Dokaži da je broj posebnih jediničnih kvadrata paran.

Odredi sve parove $(n, k)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$3^n = 5k^2 + 1.$$