Grade 11 2023

Koliko ima prirodnih brojeva $n$ za koje postoji trokut sa stranicama duljina

$$3, \quad \log_2 n \quad \text{i} \quad \log_4 n \quad ?$$

Označimo s $\tau(n)$ broj prirodnih djelitelja broja $n$. Prirodni brojevi $a$ i $b$ zadovoljavaju jednakost

$$a + \tau(a) = b^2 + 2.$$

Dokaži da je broj $a + b$ paran.

Dan je trokut $ABC$. Neka je točka $D$ nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ sjecište simetrale kuta $\measuredangle CBA$ s nasuprotnom stranicom. Ako je $\measuredangle BEA = 45°$, odredi $\measuredangle EDC$.

Odredi najmanji prirodan broj $n$ za koji postoje realni brojevi $x_1, \ldots, x_n \in [1, 4]$ koji zadovoljavaju nejednakosti:

$$\begin{aligned} x_1 + x_2 + \ldots + x_n &\geq \frac{7}{3} n, \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} &\geq \frac{2}{3} n. \end{aligned}$$

Na ploči dimenzija $3 \times 2023$ koja je na početku prazna igra se igra za dva igrača koji naizmjence vuku poteze. U pojedinom potezu igrač odabire dva prazna polja koja se nalaze u istom retku ili istom stupcu te stavlja po jedan žeton na ta polja. Gubi igrač koji ne može odigrati dopušteni potez.

Ako Kristina igra prva, a Ana druga, koja od njih može osigurati svoju pobjedu?