Grade 12 1999

Polovištem svakog brida tetraedra položena je ravnina okomito na suprotni brid. Dokažite da se svih šest ravnina siječe u točki koja je simetrična središtu opisane sfere tetraedra u odnosu na njegovo težište.

Neka je $n$ pozitivan cijeli broj veći od $1$. Koliko ima permutacija $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ brojeva $1, 2, \ldots, n$ takvih da postoji točno jedan indeks $i \in \{1, 2, \ldots, n-1\}$ za koji je $a_i > a_{i+1}$?

Izračunajte sumu $$\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + \ldots + \frac{a_k}{2^k} + \ldots$$ gdje je $(a_n)$ niz brojeva definiran na ovaj način: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad \text{za } n > 2.$$

U ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1,0)$, $T_2 = (0,1)$, $T_3 = (-1,0)$ i $T_4 = (0,-1)$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ polovište dužine $\overline{T_n T_{n+1}}$. Uz pretpostavku da niz točaka $T_n$ $(n \to \infty)$ ima graničnu točku, nađite koordinate te točke.