Grade 12 2000

Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadzbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0'$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0T_0'}$ na osi parabole $\mathcal{P}$. Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$, različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0'$ na pravac $T_0T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T'$. Što opisuje točka $T'$?

Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = \left(\frac{1}{2}|BC|\right)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

Na kružnici je zapisano $n \geq 3$ prirodnih brojeva tako da svaki od njih dijeli zbroj dva njemu susjedna broja. Označimo $$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_3}{a_2} + \ldots + \frac{a_{n-2} + a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}.$$ Odredite najveću i najmanju vrijednost od $S_n$.

Neka je $S = \{k \in \mathbf{N} : a \in \mathbf{N}, a^2 | k \Rightarrow a = 1\}$ i $n \in \mathbf{N}$. Dokažite da je $$\sum_{k \in S} \left\lfloor \sqrt{\frac{n}{k}} \right\rfloor = n.$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)