Grade 12 2007

Neka je $n$ prirodan broj takav da je $n + 1$ djeljiv s $24$.

a) Dokažite da broj $n$ ima paran broj djelitelja (uključujući $1$ i sam broj $n$).

b) Dokažite da je zbroj svih djelitelja broja $n$ djeljiv s $24$.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$\begin{aligned} a_0 &= 3 \\ a_n &= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1}, \quad n \geq 1. \end{aligned}$$

a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi.

b) Odredite $a_{2007}$.

Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nadite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|} + \frac{1}{|OB_1|} + \frac{1}{|OC_1|} \geq 6.$$