Grade 12 2008

Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve $m$ i $n$ vrijedi nejednakost

$$\frac{1}{\sqrt[m]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.$$

Odredi formulu za zbroj

$$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt{n^2 - 1} \rfloor.$$

Tu je $\lfloor r\rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

Nad stranicama $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL$, $BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajedničku stranicu).

a) Ako je $D$ točka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokaži da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.

b) Dokaži da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{KN}$ i središta kvadrata $ABKL$, $BCMN$ vrhovi kvadrata.

U prostoru je dano šest različitih točaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5$. Dokaži da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\measuredangle T_iOT_j \leq 90^\circ$.

Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jediničnih kvadratića. Na početku je $m$ kvadratića crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeća operacija: bijeli kvadratić koji ima zajednički brid s barem dva crna kvadratića, može postati crni. Nađi najmanji mogući $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratići postati crni.