Grade 12 2013

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak svih pozitivnih djelitelja broja $n$ jednak $n^3$. Prikaži ih u kanonskom obliku, tj. pomoću rastava na proste faktore.

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_1 = 2$, $a_n = 2(n + a_{n-1})$ za $n \geqslant 2$.

Dokaži da je $a_n < 2^{n+2}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi. Poznato je da parabola $y = ax^2 + b$ siječe krivulju $y = x + \dfrac{1}{x}$ u točno tri točke. Dokaži da vrijedi $3ab < 1$.

Neka su $k_1$ i $k_2$ kružnice s promjerima $\overline{AP}$ i $\overline{AQ}$. Neka je $T$ drugo sjecište kružnica $k_1$ i $k_2$. Neka je $Q'$ drugo sjecište kružnice $k_1$ i pravca $AQ$, a $P'$ drugo sjecište kružnice $k_2$ i pravca $AP$. Kružnica $k_3$ prolazi točkama $T$, $P$ i $P'$, a kružnica $k_4$ točkama $T$, $Q$ i $Q'$.

Dokaži da pravac na kojem leži zajednička tetiva kružnica $k_3$ i $k_4$ prolazi točkom $A$.

Dokaži da bilo koji $2001$-člani podskup skupa $\{1,2,3,\ldots,3000\}$ sadrži tri elementa od kojih su svaka dva međusobno relativno prosta.