Grade 12 2014

Za prirodni broj $n$ označimo sa $s(n)$ zbroj njegovih pozitivnih djelitelja, a sa $d(n)$ broj njegovih pozitivnih djelitelja. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da vrijedi

$$s(n) = n + d(n) + 1.$$

Odredi sve funkcije $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ takve da za sve realne brojeve $x$ i $y$ vrijedi

$$f(x) f(y) = f(x + y) + xy.$$

Dano je $2014$ žetona koji su s jedne strane crne, a s druge bijele boje i ploča dimenzija $2014 \times 1$. Na početku se na svakom polju ploče nalazi po jedan žeton, okrenut na crnu ili na bijelu stranu. U svakom potezu dozvoljeno je ukloniti jedan žeton okrenut na crnu stranu i istovremeno preokrenuti žetone na susjednim poljima (ako nisu već uklonjeni).

Odredi sve početne rasporede žetona za koje je nizom takvih poteza moguće ukloniti sve žetone.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta opsega $1$. Dokaži da vrijedi

$$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut takav da vrijedi

$$\measuredangle BAD = 90^\circ, \quad \measuredangle BAC = 2\measuredangle BDC \quad \text{i} \quad \measuredangle DBA + \measuredangle DCB = 180^\circ.$$

Odredi mjeru kuta $\measuredangle DBA$.