Grade 12 2022

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ takve da je $2^{n!} = m^3 + 37$.

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ takve da za sve $x \in \mathbb{N}_0$, $y \in \mathbb{N}$ vrijedi: $$(f(x) + 1)(f(y) + 1) = (x + 1)(f(y - 1) + 1) + f(x + 1).$$

Dani su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ za koje polinom $$P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ ima svojstvo da je apsolutna vrijednost svake njegove nultočke jednaka 1.

Dokaži da i polinom $$Q(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c|$$ ima isto svojstvo.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ sijeku se u točkama $P$ i $Q$. Pravac koji prolazi točkom $Q$ siječe kružnice $k_1$ i $k_2$ još u točkama $R$ i $S$, redom. Pravac $SP$ siječe kružnicu $k_1$ još u točki $M$, a pravac $RP$ siječe kružnicu $k_2$ još u točki $N$. Neka je $T$ sjecište pravaca $RM$ i $SN$.

Dokaži da je trokut $TMN$ jednakostraničan ako i samo ako je pravac $MN$ zajednička tangenta kružnica $k_1$ i $k_2$.

Dana je ploča dimenzija $2020 \times 2022$. Za dva polja te ploče kažemo da su susjedna ako imaju zajedničku stranicu ili se nalaze na početku i kraju istog retka ili stupca. Dakle, svako polje ima točno četiri susjedna polja.

Viktor u svakom koraku bira jedno polje ploče i na ploču postavlja pet žetona: po jedan na odabrano polje i na svako polje susjedno odabranom. Nakon konačnog broja takvih koraka, na svakom polju nalazi se točno $d$ žetona.

Odredi najmanji mogući $d$.