Grade 9 2023

Otac Matko prije $10$ godina imao je pet puta više godina nego njegova dva sina Josip i Kristijan zajedno. Tada je Josip bio dvostruko stariji od Kristijana. S druge strane, za $14$ će godina Josip i Kristijan zajedno imati jednako godina kao i njihov otac. Koliko su sada stari Matko, Josip i Kristijan?

Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$. Neka je $N$ nožište visine iz vrha $C$, $M$ polovište hipotenuze i $L$ sjecište simetrale pravog kuta s hipotenuzom. Ako mjera kuta $\measuredangle LCN$ iznosi $15°$, odredi mjeru kuta $\measuredangle MCL$.

Dokaži da je za sve prirodne brojeve $n$ broj $n^4 - n^2$ djeljiv s $12$.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi različiti od nule za koje vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.$$ Dokaži da je $abc < 0$.

Na ploči su napisana $2023$ različita realna broja. Ako svaki broj na ploči (istovremeno) zamijenimo zbrojem svih ostalih brojeva, na ploči će biti ista $2023$ broja kao i na početku. Koje sve vrijednosti može poprimiti umnožak svih brojeva na ploči u nekom trenutku?

Neka je $ABCDE$ konveksan peterokut kojemu su sve stranice sukladne, a kutovi pri vrhovima $C$ i $D$ pravi. Ako je $P$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$, dokaži da je $|PA| = |PD|$.

Neka su $1 = d_1 < d_2 < d_3 < d_4 < d_5 < d_6 = n$ svi prirodni djelitelji broja $n$ takvi da je $d_5 = 289$ i $d_3 - d_2 = 10$. Odredi $n$.