Grade 10 2021

Odredi sve prirodne brojeve $n$ i proste brojeve $p$ takve da je $$6n^2 - (2p + 9)n + p + 3 = 0.$$

Zapisan je $2021$-znamenkasti broj. Svaki dvoznamenkasti broj koji čine dvije uzastopne znamenke tog broja (bez promjene poretka) djeljiv je sa $17$ ili s $23$. Znamenka jedinica danog broja je $7$. Koja je njegova prva znamenka?

Dana je žica duljine $10$ m koju treba presjeći na dva dijela, te od jednog dijela napraviti kvadrat, a od drugog jednakostranični trokut. Na kojem mjestu treba presjeći žicu da bi ukupna površina kvadrata i jednakostraničnog trokuta bila što manja?

U svako polje tablice $10 \times 10$ upisan je po jedan prirodni broj, a svih $20$ zbrojeva brojeva u njezinim retcima i stupcima međusobno su različiti. Koliko iznosi najmanji mogući zbroj svih brojeva u tako popunjenoj tablici?

Odredi sve parove $\{a, b\}$ različitih realnih brojeva takve da jednadžbe $$x^2 + ax + b = 0 \quad \text{i} \quad x^2 + bx + a = 0$$ imaju barem jedno zajedničko rješenje u skupu realnih brojeva.

Neka je $ABCD$ pravokutnik u kojem je $|AB| = 1$ i $|BC| = \sqrt{3}$. Upisane kružnice trokuta $ABC$ i $ACD$ diraju dužinu $\overline{AC}$ u točkama $M$ i $N$. Odredi $|MN|$.

Odredi pozitivne racionalne brojeve $x$ i $y$ za koje su $x + \dfrac{1}{y}$ i $y + \dfrac{1}{x}$ prirodni brojevi.