Grade 11 2026

Odredi sve parove $(x, y)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$\left\{ \begin{array}{l l} y^{x^2 - 7x + 12} & = 1 \\ x + y & = 6. \end{array} \right.$$

Ako je $\sin x + \cos x = 1.4$, odredi $\mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x$.

Lukas je odlučio napraviti snjegovića od tri kugle čiji su polumjeri $30$ cm, $26$ cm i $18$ cm. Dvije veće kugle prerezao je tako da oba presjeka budu krugovi polumjera $24$ cm, te je odbacio manje dijelove, a veće dijelove stavio jedan na drugi, spajajući ih duž tog kruga. Na kraju je na vrh položio najmanju kuglu. Kolika je ukupna visina Lukasovog snjegovića?

Za realne brojeve $a$, $b$, $c$, $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_b a \cdot \log_d c = 1$. Odredi vrijednost izraza $$\frac{a^{\log_b c} \cdot b^{\log_c d} \cdot c^{\log_d a} \cdot d^{\log_a b}}{abcd}.$$

Polja pravokutne ploče s $2026$ redaka i $100$ stupaca obojena su naizmjence crno i bijelo, kao na šahovskoj ploči. Skakavac koji se nalazi na nekom polju ploče može skočiti na bilo koje polje iste boje u istom retku, ili bilo koje polje različite boje u istom stupcu. Koliko se najviše skakavaca može rasporediti na toj ploči tako da niti jedan skakavac ne može skočiti na polje na kojem se već nalazi neki drugi skakavac?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako vrijedi $|\measuredangle ACB| = 2|\measuredangle BAC|$ i $|AI| = |BC|$, odredi kutove trokuta $ABC$.