Grade 12 2021

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju jednakosti $$|z + 1| = 1 \quad \text{i} \quad |z^2 + 1| = 1.$$

Gumena lopta bačena je s visine od $200$ metara. Svaki put nakon što se odbije od površine, dosegne $4/5$ prethodne visine: nakon prvog odbijanja popne se na $160$ metara, nakon drugog odbijanja na $128$ metara, itd. Koliko iznosi ukupna udaljenost koju lopta prijeđe dok se ne zaustavi?

Zadana je elipsa s jednadžbom $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ i hiperbola kojoj su žarišta u glavnim tjemenima te elipse, a tjemena u žarištima elipse. Odredi sjecišta hiperbole i elipse.

Rekurzivno je zadan niz: $$a_1 = 1, \quad a_2 = 3,$$ $$a_n = (n + 1)a_{n-1} - na_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je $a_n$ djeljivo s $9$.

Odredi posljednje tri znamenke broja $21^{2021}$.

Svaki član niza $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ pozitivnih realnih brojeva, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini geometrijske i aritmetičke sredine dvaju njemu susjednih članova.

Ako je $a_1 = \dfrac{1}{505}$ i $a_{505} = 505$, odredi $a_{1010}$.

Figura postavljena na oplošje kocke $K_n$ dimenzija $n \times n \times n$ na strani na kojoj se nalazi napada sva polja u retku i stupcu u kojima se nalazi, poput šahovskog topa, ali i polja na ostalim stranama u produžetcima tih redaka/stupaca. (Na slici su označena vidljiva polja na kocki $K_4$ koja postavljena figura napada.)

Koliko najviše figura možemo postaviti na oplošje kocke $K_{50}$ tako da se međusobno ne napadaju?