Grade 12 2022

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $z^2 = (1 + i) \cdot \overline{z}$.

Pet međusobno različitih realnih brojeva $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ uzastopni su članovi aritmetičkog niza, a njihov zbroj iznosi $50$. Odredi te brojeve ako su brojevi $a_1$, $a_2$ i $a_5$ uzastopni članovi geometrijskog niza.

Za kompleksne brojeve $p$ i $q$ vrijedi $p + q = 5$ i $p^2 + q^2 = 9$. Dokaži da je $p^n + q^n$ neparan cijeli broj za sve $n \in \mathbb{N}$.

Kružnica prolazi točkama $A(0,5)$ i $B(0,-1)$, a njeno središte pripada pravcu $y = 2x - 6$. Odredi sinus obodnog kuta nad manjim lukom $\widehat{AB}$ te kružnice.

Od $27$ sukladnih bijelih kockica sastavljena je kocka te su sve njene vanjske strane obojene crno.

(a) Slučajno je odabrana jedna od tih kockica i postavljena na stol na slučajno odabranu stranu. Kolika je vjerojatnost da svih pet vidljivih strana kockice bude bijele boje?

(b) Na stolu se nalazi kockica kojoj je svih pet vidljivih strana bijele boje. Kolika je vjerojatnost da je i šesta strana te kockice bijela?

Izračunaj $$\sum_{k=1}^{1011} \binom{2022}{2k-1}2^{k-1}$$

U ovisnosti o prostom broju $p$ odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$m^2 = n^2 - 4np + 3p^2$$