Grade 12 2024

Djevojke Marija i Magdalena igraju šahovski meč u tri partije. Vjerojatnosti da Marija u pojedinoj partiji pobijedi, izgubi ili da partija završi remijem su međusobno jednake. Ukupna pobjednica meča je djevojka koja ostvari više pobjeda (u tri partije), a ako budu imale jednak broj pobjeda, meč završava neodlučenim rezultatom.

Kolika je vjerojatnost da Marija bude ukupna pobjednica meča?

Odredi sve uređene parove $(p, n)$ gdje je $p$ prost, a $n$ prirodan broj za koje vrijedi $$1 + p + p^2 + p^3 + \cdots + p^n = 2801.$$

Neka je $(a_n)$ niz definiran sa $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ i $$a_n = a_{n-1} + (n-1)a_{n-2} \quad \text{za } n \geqslant 3.$$ Dokaži da vrijedi $a_{2024} \geqslant \sqrt{2024!}$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(m, n, k)$ za koje vrijedi $$D(m, 20) = n, \quad D(n, 15) = k \quad \text{i} \quad D(m, k) = 5,$$ gdje je $D(a, b)$ najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$.

Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ te $4z_3 = 3(z_1 + z_2)$. Koliko je $|z_1 - z_2|$?

Pravokutni trokuti $ABC$ i $ABD$ imaju zajedničku hipotenuzu $\overline{AB}$, a katete $\overline{AD}$ i $\overline{BC}$ im se sijeku u točki $E$. Neka je $F$ ortogonalna projekcija točke $E$ na pravac $AB$. Dokaži da je $FE$ simetrala kuta $\measuredangle CFD$.

Niz znamenaka sastoji se od jedinica i nula. Među bilo kojih $200$ uzastopnih znamenaka jednako je jedinica i nula, a među bilo koje $202$ uzastopne znamenke broj jedinica i broj nula se razlikuju. Koja je najveća moguća duljina takvog niza?