Grade 12 2026

Dokaži da je za svaki prirodan broj $n$ broj $$\frac{(2 + \sqrt{2})^n - (2 - \sqrt{2})^n}{\sqrt{2}}$$ također prirodan.

Mjera šiljastog kuta jednakokračnog trapeza iznosi $75^\circ$, a duljine osnovica odnose se kao $2 : 1$. Ako je duljina kraka tog trapeza $5$, kolika mu je površina?

Neka je $(a_n)$ niz pozitivnih realnih brojeva takav da je $a_1 = 1$ i $a_{n+1}^2 + a_{n+1} = a_n$ za sve $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je $a_n \geqslant \frac{1}{n}$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

Vita i Lovro naizmjence bacaju igraću kockicu (na čijim su stranama brojevi od $1$ do $6$). Svaki od njih zbraja brojeve koje dobije bacanjem kockice. Vita baca prva. Igra završava Vitinom pobjedom ako njezin zbroj dosegne $5$ (tj. bude $5$ ili više), a Lovrinom pobjedom ako njegov zbroj dosegne $4$. Pokaži da je vjerojatnost da Vita pobijedi veća od $0.5$.

Odredi znamenke $a, b, c \neq 0$ takve da brojevi $a$, $\overline{ba}$ i $\overline{cba}$ budu uzastopni članovi nekog geometrijskog niza.

Na koliko je načina moguće svako od šest polja u nizu obojati jednom od tri boje (crvenom, bijelom ili plavom) tako da ne postoje tri uzastopna polja obojena trima različitim bojama?

Odredi najveću moguću vrijednost realnog dijela kompleksnog broja $$(10 + 14i)z + \frac{8 - 8i}{z}$$ ako je $z$ kompleksan broj takav da je $|z| = 2$.