Grade 10 2019

Odredi vrijednost realnog parametra $p$ tako da rješenja jednadžbe

$$(p - 3)x^2 + (p^2 + 1)x - 11p + 18 = 0$$

budu duljine kateta pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljine $\sqrt{17}$.

Odredi sve parove $(a, n)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi

$$3a^2 + 2^n = a^4.$$

Dokaži da za nenegativne realne brojeve $a$ i $b$ takve da je $a + b \leq 2$ vrijedi

$$\frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \leq \frac{2}{1 + ab}.$$

Kada se postiže jednakost?

Točka $P$ je polovište dužine $\overline{AB}$ duljine $2$. Neka je $T$ diralište tangente iz točke $A$ na kružnicu promjera $\overline{PB}$. Odredi duljinu $|PT|$.

Na ploču dimenzija $8 \times 8$ postavljeni su kraljevi i topovi, tako da nijedna figura nije napadnuta. Kralj napada susjedna polja (njih osam, osim kada je na rubu ploče), a top napada sva polja u retku i stupcu u kojem se nalazi. Koliko je najviše figura na ploči ako je broj topova jednak broju kraljeva?