Grade 11 2015

Neka je $I$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$.

Ako je $|AI| = |BC|$ i $\measuredangle ACB = 2\measuredangle BAC$, odredi kutove trokuta $ABC$.

Za realni broj $x$, neka $\lfloor x \rfloor$ označava najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$11 \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{2} \right\rfloor = 9x.$$

Neka je $n$ prirodni broj veći od $1$ takav da su $2n - 1$ i $3n - 2$ kvadrati prirodnih brojeva.

Dokaži da je broj $10n - 7$ složen.

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $\measuredangle BAD = 50°$, $\measuredangle ADB = 80°$ i $\measuredangle ACB = 40°$.

Ako je $\measuredangle DBC = 30° + \measuredangle BDC$, izračunaj $\measuredangle BDC$.

Marko ima $2n$ kartica ($n \in \mathbb{N}$), po dvije kartice sa svakim od brojeva $1,2,\ldots,n$. Kada ih je promiješao i složio jednu do druge u niz, primijetio je da se za svaki $k$ iz skupa $\{1,2,\ldots,n\}$ između dviju kartica s brojem $k$ nalazi točno $k$ drugih kartica.

Dokaži da je broj $n^2 + n$ djeljiv s $4$.