Grade 11 2017

U trokutu $ABC$ simetrala kuta kod vrha $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$. Neka su $a$ i $b$ redom duljine stranica $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$, redom. Ako vrijedi $|CD| = \dfrac{ab}{a + b}$, odredi $\measuredangle ACB$.

Postoji li prirodni broj $m$ takav da $7$ dijeli $2^{m^2} - 4$?

Izračunaj umnožak $(1 + \tan 1°)(1 + \tan 2°)\ldots (1 + \tan 45°)$.

Dan je tetraedar kojem je jedan brid duljine $3$, a svi ostali duljine $2$. Odredi obujam tog tetraedra.

Koliko najviše cijelih brojeva može sadržavati konačni skup $S$ takav da među svaka tri elementa skupa $S$ postoje dva različita broja čiji zbroj je također u $S$?