Grade 11 2021

Dokaži da ortocentar šiljastokutnog trokuta s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ dijeli visinu iz vrha kuta mjere $\alpha$ u omjeru $\cos \alpha : (\cos \beta \cos \gamma)$.

Odredi sve parove realnih brojeva $(x, y)$ koji zadovoljavaju jednadžbu

$$(4^x + 1)(9^y + 1) + 70 = 10(2^x + 1)(3^y + 1).$$

Središte $I$ upisane kružnice i središte $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ su osnosimetrične točke u odnosu na pravac $AB$. Točka $D$ je drugo sjecište pravca $AO$ i opisane kružnice trokuta $ABC$.

Dokaži da vrijedi $|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AO|$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $2^m - 63$ kub nekog cijelog broja.

U nekom arhipelagu je $n$ otoka među kojima prometuju dvosmjerne brodske i avionske linije. Između svaka dva otoka postoji točno jedna direktna linija – ili brodka, ili avionska. Kažemo da je arhipelag uredno povezan ako svako kružno turističko putovanje koje počinje i završava na istom otoku koristi paran broj avionskih linija.

Za koje prirodne brojeve $n$ svaki uredno povezan arhipelag s $n$ otoka ima paran broj avionskih linija?