Grade 12 2019

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ takve da je $b \geq 0$ i

$$a^2 + 2ab + b! = 131.$$

Za polukrug kažemo da je pravilno smješten u veći polukrug ako su im promjeri paralelni, krajevi promjera manjeg polukruga leže na polukružnici većeg polukruga i polukružnica manjeg polukruga dodiruje promjer većeg polukruga.

Dan je niz polukrugova $K_1, K_2, K_3, \ldots$, pri čemu je, za svaki $n \in \mathbb{N}$, polukrug $K_{n+1}$ pravilno smješten u polukrug $K_n$. Područje koje pripada polukrugu $K_n$ i ne pripada polukrugu $K_{n+1}$ obojeno je plavom ako je $n$ neparan, a žutom bojom ako je $n$ paran broj. Polumjer polukruga $K_1$ iznosi $1$. Odredi ukupnu površinu obojenu plavom bojom.

Neka je $n \geq 2$ prirodan broj. Ploči dimenzija $n \times n$ odstranjena su dva nasuprotna kutna polja. Na koliko načina je na tu ploču moguće postaviti $n$ figura tako da nikoje dvije ne budu u istom retku ili stupcu?

Odredi sve trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi

$$\begin{aligned} (x^2 + 1)y &= z^2 + 1 \\ (y^2 + 1)z &= x^2 + 1 \\ (z^2 + 1)x &= y^2 + 1. \end{aligned}$$

Na šahovskom turniru sudjelovali su dječaci i djevojčice. Svaki je natjecatelj odigrao po jednu partiju sa svakim drugim natjecateljem, a nijedna partija nije završila neodlučenim rezultatom. Odredi najmanji mogući broj natjecatelja na turniru ako je poznato da je svaka djevojčica pobijedila barem $21$ dječaka i da je svaki dječak pobijedio barem $12$ djevojčica.