Grade 12 2022

Odredi sve polinome $P$ trećeg stupnja koji imaju sljedeća tri svojstva:

(i) $P(x)$ pri dijeljenju s $x^2 - 1$ daje ostatak $2x + 1$,

(ii) zbroj nultočaka polinoma $P$ iznosi $-2$,

(iii) graf polinoma $P$ prolazi točkom $(0, 3)$.

Početni član niza $(a_n)$ je $a_0 = 2022$. Za svaki $n \in \mathbb{N}$, broj $a_n$ jednak je zbroju broja $a_{n-1}$ i najvećeg djelitelja tog broja manjeg od njega samog. Odredi $a_{2022}$.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ za koje je $2^n + 5 \cdot 3^m$ kvadrat nekog prirodnog broja.

Dan je pravilni $2022$-kut $A_1A_2 \ldots A_{2022}$. Koliko najviše vrhova pravilnog $2022$-kuta možemo odabrati tako da nikoje četiri odabrane točke ne čine vrhove pravokutnika?

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s težištem $T$. Neka je $\overline{CN}$ njegova visina, $\overline{CP}$ težišnica i $K$ polovište te težišnice. Simetrala dužine $\overline{PC}$ siječe pravac $AB$ u točki $L$. Kružnica opisana trokutu $LNT$ siječe pravac $PC$ u točkama $T$ i $M$. Dokaži da pravac $AK$ raspolavlja dužinu $\overline{BM}$.