Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$\left(2 + \sqrt{5}\right)^{x^2 - 4x + 2} + \left(\sqrt{5} - 2\right)^{x^2 - 4x + 2} = 18.$$

Postoje li prirodni brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da su $$\log_a (bc + 1), \quad \log_b (ca + 1) \quad \mathrm{i} \quad \log_c (ab + 1)$$ također prirodni brojevi?

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut u kojem je $|BC| < |CA|$. Središte njegove upisane kružnice je točka $I$, a $k$ mu je opisana kružnica. Neka su $M$ i $N$ redom polovišta kraćih lukova nad tetivama $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ kružnice $k$. Pravac kroz $C$ paralelan s $MN$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $P$. Pravac $PI$ ponovno siječe kružnicu $k$ u točki $T$. Dokaži da vrijedi $$|MP| \cdot |MT| = |NP| \cdot |NT|.$$

Na pravcu $p$ označeno je 2026 točaka na jednakim razmacima. U jednoj poluravnini (s iste strane pravca $p$) označene su sve točke koje zajedno s dvjema označenim točkama pravca $p$ čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Neka je $\mathcal{T}$ skup svih označenih točaka, uključujući one na pravcu $p$.

Josip može brisati točke skupa $\mathcal{T}$ tako da u svakom koraku obriše po tri točke koje su vrhovi nekog jednakostraničnog trokuta. Korak ponavlja sve dok mu ne ostane točno jedna točka. Točka skupa $\mathcal{T}$ koja može ostati posljednja neobrisana naziva se Josipova.

Odredi broj Josipovih točaka.

Odredi najmanju i najveću vrijednost koju izraz $\sin^2 x \cos 2x$ postiže za $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Koliko ima četveroznamenkastih prirodnih brojeva u čijem su zapisu točno dvije različite znamenke od kojih se svaka pojavljuje dvaput?

Trapezu s krakovima duljina $4$ i $5$ može se upisati kružnica, a zbroj veličina kutova uz dulju osnovicu iznosi $120°$. Izračunaj površinu tog trapeza.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe

$$\log_2 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_8 x + \cdots + \log_{2^{2019}} x \cdot \log_{2^{2020}} x = \frac{2019}{2020}.$$

Za prirodni broj $n \geqslant 2$ neka je $D(n)$ najveći prirodni djelitelj broja $n$ različit od $n$. Na primjer, $D(12) = 6$ i $D(13) = 1$.

Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da je $D(n) = 35$.

Posuda oblika uspravnog stošca sadrži određenu količinu vode. Kada je stožac postavljen osnovkom na ravnu površinu vrhom prema gore, razina vode je $8$ cm ispod vrha stošca. Ako stožac preokrenemo, razina vode je $2$ cm ispod osnovke stošca.

Kolika je visina posude?

Dani su prosti brojevi $p$, $q$, $r$ i $s$ takvi da je $5 < p < q < r < s < p + 10$.

Dokaži da je zbroj tih četiriju brojeva djeljiv sa $60$.

Ako je $2\sin x - 3\cos y = a$ i $2\cos x + 3\sin y = b$, koliko je $\sin(x - y)$?

Ako za pozitivne realne brojeve $x$, $y$ i $z$ vrijedi $$4^{x+y} = z, \quad z^{1/x} \cdot z^{1/y} = 1024,$$ odredi vrijednost izraza $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$.

Sve točke prostora čija udaljenost od dužine $\overline{AB}$ iznosi najviše $3$ čine tijelo obujma $216\pi$. Odredi duljinu dužine $\overline{AB}$.

Polja ploče dimenzija $300 \times 300$ iste su veličine kao i $14$ kvadratića od kojih se sastoji lik prikazan na slici. Koliko je najviše takvih likova moguće postaviti na tu ploču bez preklapanja? Likove se može rotirati i prevrtati.

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih sa $7$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $1$, $2$ ni $7$?

Točka $M$ je polovište stranice $\overline{AB}$, a $T$ težište trokuta $ABC$. Ako je $AMT$ jednakostranični trokut stranice duljine $1$, odredi duljine stranica trokuta $ABC$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $$a^b - b^a + 2^a = 17a^4 - 2b^2 + 52.$$

Ako je $\cos x + \sin x = 0.3$, odredi $\cos^3 x + \sin^3 x$.

Odredi realne brojeve $a$ i $b$ tako da skup vrijednosti funkcije $f(x) = 2022^{-2(x-2a)(x+a)} + 1$ bude interval $\langle b, 2023]$.

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

Za koliko je prirodnih brojeva $n$ vrijednost razlomka $$\frac{n + 2022}{n - 3}$$ cijeli broj?

Kocka $ABCDA'B'C'D'$ stranice duljine $1$ presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $\overline{AD}$ takva da je $|AS| = \sqrt{3} - 1$. Sfera prolazi točkama $C$ i $D'$, te siječe bridove $\overline{AB}$ i $\overline{AA'}$.

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica trokuta nasuprot kutova veličina $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Ako vrijedi $9a^2 + 9b^2 = 19c^2$, odredi $\dfrac{\mathrm{ctg}\,\gamma}{\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\beta}$.

Na koliko načina se u tablicu $3 \times 3$ mogu upisati brojevi od $1$ do $9$ tako da zbrojevi brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali budu djeljivi s $3$?

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Odredi najmanji prirodan broj koji se može prikazati u obliku $50a^4$ i u obliku $3b^3$ za neke prirodne brojeve $a$ i $b$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje postoji realan broj $y$ takav da je $$\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)} = 4 \sin(x + y) \cos(x - y).$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$\log_{2023 - 2(a + b)} b = \frac{1}{3 \log_b a}?$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Dokaži da vrijedi $$|AH|^2 + |BC|^2 = |BH|^2 + |CA|^2 = |CH|^2 + |AB|^2.$$

Na početku je zadan prirodan broj $n$. Jurica odabire dva prirodna broja $a$ i $b$ čiji je umnožak broj $n$, a zatim ponavlja postupak s brojem $a + b$ umjesto $n$.

Odredi, u ovisnosti o broju $n$, najmanji mogući prirodan broj koji Jurica može dobiti kao rezultat nakon konačno mnogo koraka.

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da vrijedi $|AB| = 4$, $|AD| = 3$, te je mjera kuta pri vrhu $A$ jednaka $60°$. Kružnica $k_1$ dira stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ dok kružnica $k_2$ dira stranice $\overline{CB}$ i $\overline{CD}$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ su sukladne i dodiruju se izvana. Odredi duljinu polumjera tih kružnica.

Odredi sva realna rješenja nejednadžbe $$\log_9 x^2 - \log_3 (x + 8) \leqslant \log_{\frac{1}{3}} (x - 3) - 1.$$

Ako je $\frac{\operatorname{tg}x + \operatorname{ctg}x + 1}{\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{ctg}^2 x + 2} = \frac{4}{9}$, odredi $\sin x \cos x$.

Dan je trokut $ABC$ površine $5$. Ako za duljine stranica tog trokuta vrijedi jednakost $|AB|^2 + |AC|^2 = 17 + |BC|^2$, odredi tangens kuta $\measuredangle CAB$.

Na školskom natjecanju iz matematike sudjelovalo je $1200$ učenika. Broj bodova koje učenik može ostvariti je cijeli broj između $0$ i $50$. Računalnom greškom svim je učenicima koji su ostvarili $3$ ili manje bodova zapisan rezultat $0$ bodova, a svim učenicima koji su ostvarili $47$ ili više bodova zapisano je $50$ bodova. Zbog te greške, prosječni rezultat na natjecanju prema podacima u računalu veći je za $0.1$ od stvarnog.

Dokaži da postoje brojevi $a$ i $b$ takvi da se broj učenika koji su ostvarili točno $a$ bodova i broj učenika koji su ostvarili točno $b$ bodova razlikuje za barem $20$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je vrijednost izraza $$\frac{n^2 - 22 + \log_2 n}{n - 5}$$ cijeli broj.

Kružnice $k_1$, $k_2$ i $k_3$ sa središtima $S_1$, $S_2$, $S_3$ i polumjerima duljina $r_1 = 1$, $r_2 = 2$, $r_3 = 3$, redom, međusobno se dodiruju izvana tako da je $A$ diralište kružnica $k_1$ i $k_2$, $B$ diralište kružnica $k_2$ i $k_3$ te $C$ diralište kružnica $k_3$ i $k_1$. Odredi površinu trokuta $ABC$.

Odredi proste brojeve $p, q, r$ i prirodni broj $n$ za koje vrijedi $$p^2 = q^2 + r^n.$$ Nađi sva rješenja.

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Ako je $\cos \alpha = \tan \alpha$, koliko je $\frac{1}{\sin \alpha} + \cos^4 \alpha$?

Dan je valjak s visinom duljine $10$ cm. Na obodima njegovih osnovki su točke $A$ i $B$ takve da je $\overline{AB}$ paralelno s osi valjka. Spojimo li točke $A$ i $B$ najkraćom linijom koja jednom obilazi oko valjka po plaštu, njezina će duljina biti $15$ cm. Kolika je duljina najkraće linije koja dva puta obilazi oko valjka i spaja točke $A$ i $B$?

Riješite jednadžbu

$$\log_{2x+7}(4 + 12x + 9x^2) + \log_{3x+2}(6x^2 + 25x + 14) = 4$$

u skupu realnih brojeva.

Može li se broj

$$\sqrt{104\sqrt{6} + 468\sqrt{10} + 144\sqrt{15} + 2025}$$

zapisati u obliku $a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5}$ za neke prirodne brojeve $a$, $b$ i $c$?

Riješite jednadžbu

$$2^x = 3^y + 1$$

u skupu cijelih brojeva.

Odredite sve moguće vrijednosti prostog broja $p \geq 5$ za koje postoji barem jedan par prirodnih brojeva $(x, y)$ koji je rješenje jednadžbe

$$\frac{16}{x} + \frac{25}{y} = p.$$

Odredi sve parove $(x, y)$ pozitivnih realnih brojeva za koje vrijedi $$\left\{ \begin{array}{l l} y^{x^2 - 7x + 12} & = 1 \\ x + y & = 6. \end{array} \right.$$

Ako je $\sin x + \cos x = 1.4$, odredi $\mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x$.

Lukas je odlučio napraviti snjegovića od tri kugle čiji su polumjeri $30$ cm, $26$ cm i $18$ cm. Dvije veće kugle prerezao je tako da oba presjeka budu krugovi polumjera $24$ cm, te je odbacio manje dijelove, a veće dijelove stavio jedan na drugi, spajajući ih duž tog kruga. Na kraju je na vrh položio najmanju kuglu. Kolika je ukupna visina Lukasovog snjegovića?

Za realne brojeve $a$, $b$, $c$, $d$ veće od $1$ vrijedi $\log_b a \cdot \log_d c = 1$. Odredi vrijednost izraza $$\frac{a^{\log_b c} \cdot b^{\log_c d} \cdot c^{\log_d a} \cdot d^{\log_a b}}{abcd}.$$