Search

Za realan broj kažemo da je velik ako mu je apsolutna vrijednost veća ili jednaka $1$. Za svaki prirodan broj $m$, odredi najveći realan broj $C_m$ takav da za bilo kojih $m$ velikih brojeva $a_1, a_2, \ldots, a_m$ vrijedi

$$a_1^2 + (a_1 + a_2)^2 + \ldots + (a_1 + a_2 + \ldots + a_m)^2 \geq C_m.$$

Determine all values $x$ in the interval $0 \leq x \leq 2\pi$ which satisfy the inequality $$2 \cos x \leq \left| \sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{1 - \sin 2x} \right| \leq \sqrt{2}.$$

Solve the system of equations $$\begin{aligned} &|a_1 - a_2| x_2 & +\, |a_1 - a_3| x_3 & + |a_1 - a_4| x_4 &= 1 \\ |a_2 - a_1| x_1 & & +\, |a_2 - a_3| x_3 & + |a_2 - a_3| x_3 &= 1 \\ |a_3 - a_1| x_1 & + |a_3 - a_2| x_2 & & &= 1 \\ |a_4 - a_1| x_1 & + |a_4 - a_2| x_2 & +\, |a_4 - a_3| x_3 & &= 1 \end{aligned}$$ where $a_1, a_2, a_3, a_4$ are four different real numbers.

Let $x_1, x_2, \ldots, x_n$ be real numbers satisfying the conditions

$$|x_1 + x_2 + \cdots + x_n| = 1$$

and

$$|x_i| \leq \frac{n+1}{2} \qquad i = 1, 2, \ldots, n.$$

Show that there exists a permutation $y_1, y_2, \ldots, y_n$ of $x_1, x_2, \ldots, x_n$ such that

$$|y_1 + 2y_2 + \cdots + ny_n| \leq \frac{n+1}{2}.$$

An anti-Pascal triangle is an equilateral triangular array of numbers such that, except for the numbers in the bottom row, each number is the absolute value of the difference of the two numbers immediately below it. For example, the following array is an anti-Pascal triangle with four rows which contains every integer from 1 to 10.

$$\begin{array}{ccccccc} & & & 4 & & & \\ & & 2 & & 6 & & \\ & 5 & & 7 & & 1 & \\ 8 & & 3 & & 10 & & 9 \end{array}$$

Does there exist an anti-Pascal triangle with 2018 rows which contains every integer from 1 to $1 + 2 + \cdots + 2018$?

Show that the inequality $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i - x_j|} \leqslant \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i + x_j|}$$ holds for all real numbers $x_1, \ldots, x_n$.

Riješi sustav jednadžbi $$|x - 3| + |y + 2| = 1$$ $$|x + 1| - |y - 1| = 2, \quad x, y \in \mathbb{R}$$ i skiciraj skup rješenja u koordinatnoj ravnini.

Neka je $n$ prirodan broj. Nadite sva rješenja jednadžbe $$\left| \left| \dots \right| \right| | x - 1 | - 2 | - 3 | - \dots - (n - 1) | - n | = 0.$$

Dokažite da je za svaki $a \in (1,2)$ površina lika kojeg omeđuju grafovi funkcija $$y = 1 - |x - 1| \quad \text{i} \quad y = |2x - a|,$$ manja od $\dfrac{1}{3}$.

Dokažite da za svaka tri realna broja $x, y, z$ vrijedi nejednakost $$|x| + |y| + |z| - |x + y| - |y + z| - |z + x| + |x + y + z| \geq 0.$$

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_{100}$ realni brojevi za koje vrijedi

$$\begin{aligned} |2x_k - x_{k+1}| &= x_{k+2} \quad \text{za sve } k \in \{1, 2, \ldots, 98\}, \\ |2x_{99} - x_{100}| &= x_1, \\ |2x_{100} - x_1| &= x_2. \end{aligned}$$

Dokaži da je $x_1 = x_2 = \cdots = x_{100}$.

Odredi najmanju vrijednost izraza $$|x + 1| + |x - 2| + |x - 3|,$$ pri čemu je $x$ realni broj.

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi koji zadovoljavaju jednakost $$|a + b| + |a + c| + |b + c| = 8.$$ Odredi najveću i najmanju moguću vrijednost izraza $$a^{2} + b^{2} + c^{2}$$ te odredi kada se ona postiže.

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||x - 2| - x + a| = x + 3$$ ima točno dva realna rješenja.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz

$$a^2 + b^2 + |ab - 1| + |ab - 4|$$

za neke realne brojeve $a$ i $b$.

Odredi najmanju vrijednost koju može poprimiti izraz $$x + |2|x| - 1|$$ za neki realni broj $x$.

Odredi sve trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$|a + 3| + b^2 + 4c^2 - 14b - 12c + 56 = 0.$$

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\begin{aligned} |2x + 1| + 3x - 2y &= -14 \\ |3x + 1| + x + 4y &= 25. \end{aligned}$$

Za koje vrijednosti realnog broja $a$ jednadžba $$2x^2 + x + \log_a(a - 2) = 0$$ ima realna rješenja po apsolutnoj vrijednosti većoj od $\frac{1}{2}$.

Riješite u skupu $\mathbf{R}$ nejednadžbu $$\left| \frac{4^x - 2^{x+1} - 2}{2^x - 4} \right| < 1.$$

Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$|z^2 + 1| = 2|z| \quad \text{i} \quad |z - 3i| = \sqrt{10}.$$

Neka su $a, b, c$ kompleksni brojevi takvi da je $|a| = |b| = |c| = 1$.

(a) Ako je $a + b + c \neq 0$, pokažite da je $$\left| \frac{bc + ca + ab}{a + b + c} \right| = 1.$$

(b) Pokažite da je $$\frac{(b + c)(c + a)(a + b)}{abc}$$ realan broj.

Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3 + az^2 + bz - 1 = 0$ jednaki $1$?

Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje sustav

$$2^{|x|} + |x| = x^2 + y + a$$

$$x^2 + y^2 = 1$$

ima točno jedno rješenje $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

Neka je $z$ kompleksni broj za koji vrijedi

$$|z - 5| = |z - 1| + 4.$$

Dokaži da je $z$ realni broj.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\sqrt{|x - 1| + |x + 4|} = |x|.$$

Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Dani su kompleksni brojevi $a$, $b$ i $c$ za koje polinom $$P(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$$ ima svojstvo da je apsolutna vrijednost svake njegove nultočke jednaka 1.

Dokaži da i polinom $$Q(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c|$$ ima isto svojstvo.

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ koji zadovoljavaju jednakosti $$|z + 1| = 1 \quad \text{i} \quad |z^2 + 1| = 1.$$

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje je $$|z + 1| = |4 - \bar{z}| \quad \text{i} \quad \operatorname{Im} \left(\frac{z}{5 + i}\right) = \frac{1}{13}.$$

Skup svih točaka $(x, y)$ za koje vrijedi $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ dijeli ravninu na nekoliko dijelova od kojih je samo jedan omeden. Odredi površinu tog dijela ravnine.