Search

Dokaži da za bilo koji prirodni broj $d$ postoji prirodni broj $n$ djeljiv brojem $d$, takav da u njegovom dekadskom zapisu možemo izbrisati neku znamenku različitu od nule, tako da dobiveni broj bude također djeljiv brojem $d$.

Dan je prosti broj $p > 10^9$ takav da je $4p + 1$ prost. Dokaži da decimalni zapis broja $\dfrac{1}{4p + 1}$ sadrži sve znamenke $0, 1, \ldots, 9$.

Dokaži da za svaki prirodan broj $n > 10^6$ postoji višekratnik broja $n$ koji nije veći od $n^4$, čiji zapis u dekadskom brojevnom sustavu koristi najviše 4 različite znamenke.

Determine all three-digit numbers $N$ having the property that $N$ is divisible by 11, and $N/11$ is equal to the sum of the squares of the digits of $N$.

Find the smallest natural number $n$ which has the following properties:

(a) Its decimal representation has 6 as the last digit.

(b) If the last digit 6 is erased and placed in front of the remaining digits, the resulting number is four times as large as the original number $n$.

Find all natural numbers $x$ such that the product of their digits (in decimal notation) is equal to $x^2 - 10x - 22$.

Let $a, b$ and $n$ be integers greater than 1, and let $a$ and $b$ be the bases of two number systems. $A_{n-1}$ and $A_n$ are numbers in the system with base $a$, and $B_{n-1}$ and $B_n$ are numbers in the system with base $b$; these are related as follows: $$A_n = x_n x_{n-1} \cdots x_0, \quad A_{n-1} = x_{n-1} x_{n-2} \cdots x_0,$$ $$B_n = x_n x_{n-1} \cdots x_0, \quad B_{n-1} = x_{n-1} x_{n-2} \cdots x_0,$$ $$x_n \neq 0, \quad x_{n-1} \neq 0.$$

Prove: $$\frac{A_{n-1}}{A_n} < \frac{B_{n-1}}{B_n} \text{ if and only if } a > b.$$

When $4444^{4444}$ is written in decimal notation, the sum of its digits is $A$. Let $B$ be the sum of the digits of $A$. Find the sum of the digits of $B$. ($A$ and $B$ are written in decimal notation.)

We call a positive integer alternating if every two consecutive digits in its decimal representation are of different parity. Find all positive integers $n$ such that $n$ has a multiple which is alternating.

For a nonnegative integer $n$, define $a_n$ to be the positive integer with decimal representation $$1\underbrace{0\ldots 0}_{n}2\underbrace{0\ldots 0}_{n}2\underbrace{0\ldots 0}_{n}1.$$

Prove that $a_n/3$ is always the sum of two positive perfect cubes but never the sum of two perfect squares.

We are given a positive integer $n$ which is not a power of $2$. Show that there exists a positive integer $m$ with the following two properties:

(i) $m$ is the product of two consecutive positive integers;

(ii) the decimal representation of $m$ consists of two identical blocks of $n$ digits.

A positive integer $n$ is called a Mozartian number if the numbers $1, 2, \ldots, n$ together contain an even number of each digit (in base $10$).

Prove:

(a) All Mozartian numbers are even.

(b) There are infinitely many Mozartian numbers.

We call a positive integer $N$ contagious if there exist $1000$ consecutive non-negative integers such that the sum of all their digits is $N$. Find all contagious positive integers.

Prove that there are infinitely many positive integers $n$ such that $n^2$ written in base $4$ contains only digits $1$ and $2$.

We call a positive integer cheesy if we can obtain the average of the digits in its decimal representation by putting a decimal separator after the leftmost digit. Prove that there are only finitely many cheesy numbers.

Example. For instance, 2250 is cheesy, as the average of the digits is 2.250.

Define glueing of positive integers as writing their base ten representations one after another and interpreting the result as the base ten representation of a single positive integer.

Find all positive integers $k$ for which there exists an integer $N_k$ with the following property: for all $n \geq N_k$, we can glue the numbers $1, 2, \ldots, n$ in some order so that the result is a number divisible by $k$.

Remark. The base ten representation of a positive integer never starts with zero.

Example. Glueing 15, 14, 7 in this order makes 15147.

Odredite četveroznamenkasti broj oblika $\overline{aabb}$ koji je potpuni kvadrat.

Dokažite da postoji broj oblika $\overline{.\,.\,.\,.\,1995}$ djeljiv sa $1999$.

Niz znamenaka $1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, \ldots$ konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke.

a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2, 0, 0, 4$, tim redom?

b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1, 2, 3, 4$, tim redom?

Odredite sve brojeve čiji je zapis u dekadskom sustavu oblika $\overline{13xy45z}$, gdje su $x$, $y$ i $z$ nepoznate znamenke, koji su djeljivi sa $792$.

Odredi sve troznamenkaste brojeve $\overline{xyz}$ ($x$, $y$, $z$ su dekadske znamenke) koji su jednaki izrazu $x + y + z + xy + yz + zx + xyz$.

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva oblika $\overline{37abc}$ takvih da je svaki od brojeva $\overline{37abc}$, $\overline{37bca}$ i $\overline{37cab}$ djeljiv s $37$?

Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva

$$n + 1, n + 2, \ldots, n + 12$$

nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?

Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom broju kojem su sve znamenke jednake.

Svaka znamenka prirodnog broja $n$ (osim prve) strogo je veća od znamenke koja se nalazi neposredno lijevo od nje. Odredi zbroj svih znamenaka broja $9n$.

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, onda je $\overline{\overline{a.b}}$ decimalni broj dobiven tako da iza broja $a$ zapišemo decimalnu točku i nakon toga broj $b$. Na primjer, ako je $a = 20$ i $b = 17$, onda je $\overline{\overline{a.b}} = 20.17$ i $\overline{\overline{b.a}} = 17.2$.

Odredi sve parove $(a, b)$ prirodnih brojeva za koje vrijedi $\overline{\overline{a.b}} \cdot \overline{\overline{b.a}} = 13$.

Za višeznamenkasti prirodni broj definirana je operacija tumbanje pri kojem se vodeća znamenka izbriše, a zatim ista znamenka dopiše na kraj broja, iza znamenke jedinica. Tako npr. od broja 123 nastaje broj 231, a od broja 107 broj 71. Prirodni broj je mudar ako mu je vodeća znamenka u dekadskom zapisu jednaka 1, a tumbanjem od njega nastaje triput veći broj. Odredi sve mudre brojeve.

Odredi zbroj svih znamenaka dekadskog zapisa broja $(10^{2020} + 2020)^2$.

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s $3$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $2$, $4$, $6$ ni $9$?

Odredi najmanji prirodni broj kojem je zbroj znamenaka djeljiv sa $7$ te ima svojstvo da je zbroj znamenaka njegovog sljedbenika također djeljiv sa $7$.

Koliko ima peteroznamenkastih prirodnih brojeva kojima je umnožak znamenaka jednak $900$?

Odredite sve dvoznamenkaste prirodne brojeve za koje vrijedi da su točno tri puta veći od umnoška svojih znamenaka.

Odredite zadnju znamenku zbroja $1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{2025}$.

Odredi koliko ima šesteroznamenkastih prirodnih brojeva takvih da uklanjanjem prve dvije, odnosno zadnje dvije znamenke dobivamo dva četveroznamenkasta broja koja daju isti ostatak pri dijeljenju s $99$.

Odredi sve troznamenkaste prirodne brojeve $n$ za koje brojevi $n$ i $n^2$ imaju jednake zadnje tri znamenke.

U decimalnom zapisu broja $2^{1997}$ ima $m$ znamenaka, a u zapisu broja $5^{1997}$ ima $n$ znamenaka. Kolika je suma $m + n$?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $$S(a) = S(b) = S(a + b) = n,$$ pri čemu $S(a)$ označava zbroj znamenaka broja $a$.

Dvije ekipe igraju rukomet. Nijedna ekipa nije postigla $30$ ili više pogodaka. Zapisničar na početku utakmice i nakon svakog postignutog pogotka zapisuje rezultat te izračuna zbroj svih znamenaka u rezultatu. Na primjer, kod rezultata $15 : 6$ zbroj znamenaka iznosi $12$. Koliko je najviše puta tijekom utakmice zapisničar mogao zapisati rezultat u kojem je ukupan zbroj znamenaka jednak $10$?

Zapisan je $2021$-znamenkasti broj. Svaki dvoznamenkasti broj koji čine dvije uzastopne znamenke tog broja (bez promjene poretka) djeljiv je sa $17$ ili s $23$. Znamenka jedinica danog broja je $7$. Koja je njegova prva znamenka?

Odredite sve one troznamenkaste prirodne brojeve koji su jednaki zbroju svoje znamenke stotice, kvadrata znamenke desetice i kuba znamenke jedinice.

Prirodni broj $\overline{a_1a_2\ldots a_m}$ (uz $a_1 \neq 0$) je koncizan ako je broj $\overline{a_ia_{i+1}\ldots a_{i+k-1}}$ djeljiv s $k$ za sve prirodne brojeve $i$, $k$ takve da je $1 \leqslant k \leqslant m$ i $1 \leqslant i \leqslant m - k + 1$.

Na primjer, broj $102$ je koncizan jer su brojevi $1$, $0$ i $2$ djeljivi s $1$, brojevi $10$ i $2 (= \overline{02})$ djeljivi s $2$ te broj $102$ djeljiv s $3$.

Dokaži da postoji najveći koncizni prirodni broj i odredi ga.

Koliko ima prirodnih brojeva čiji zapis u dekadskome sustavu sadržava svaku od deset znamenaka $0, 1, 2, ..., 9$ točno jednom, a svaka je znamenka, osim znamenke $9$, manja od barem jedne njoj susjedne znamenke?

Dokažite da među svakih $79$ uzastopnih prirodnih brojeva postoji barem jedan čija je suma znamenaka djeljiva sa $13$.

Nađite niz od $78$ uzastopnih prirodnih brojeva sa svojstvom da suma znamenaka niti jednog od njih nije djeljiva sa $13$.

Pet različitih četveroznamenkastih brojeva koji počinju s istom znamenkom imaju svojstvo da četiri od njih dijele zbroj svih pet brojeva. Nadite sve takve petorke.

Dva igrača naizmjence zapisuju po jednu znamenku, redom slijeva nadesno. Igrač gubi ako je nakon njegovog poteza napisan niz znamenaka $$a_1, a_2, \ldots, a_n$$ za koji postoji prirodni broj $k$ takav da je broj $\overline{a_k a_{k+1} \ldots a_n}$ djeljiv s 11.

Koji igrač može pobijediti neovisno o igri protivnika?

Koliko ima četveroznamenkastih prirodnih brojeva u čijem su zapisu točno dvije različite znamenke od kojih se svaka pojavljuje dvaput?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih sa $7$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $1$, $2$ ni $7$?

Neka su $a$ i $b$ znamenke za koje vrijedi

$$\overline{aaa} + \overline{aab} + \overline{abb} + \overline{bbb} = 1503.$$

Koliko je tada $a^b + b^a$?

Odredi sve prirodne brojeve koji su kvadrati prirodnih brojeva i u čijem su dekadskom zapisu dvije znamenke različite od $0$, a jedna od te dvije je $3$.

Nadite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$.