Search

U svakom vrhu pravilnog $n$-terokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se određeni broj novčića: u vrhu $A_k$ nalazi se točno $k$ novčića, za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$. U svakom koraku radimo sljedeću transformaciju: odabiremo dva novčića (ne nužno iz istog vrha) i prebacujemo svakog od njih u susjedni vrh, tako da jednog pomičemo u smjeru kretanja kazaljke na satu, a drugog u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke na satu.

Odredi za koje brojeve $n$ je moguće postići da nakon konačnog broja koraka za svaki $k = 1, 2, \ldots, n$ u vrhu $A_k$ bude točno $n + 1 - k$ novčića.

Svaka strana i svaka dijagonala nekog konveksnog $n$-terokuta obojana je u neku od $k$ boja. Poznato je da ne postoji jednobojna zatvorena izlomljena linija kojoj su vrhovi također i vrhovi danog mnogokuta. Kolika je najveća moguća vrijednost broja $n$?

Neka je $n \geq 3$ prirodan broj. Odredi minimalni broj točaka koje treba označiti unutar bilo kojeg konveksnog $n$-terokuta tako da svaki trokut kojem su vrhovi ujedno vrhovi tog $n$-terokuta sadrži u svojoj unutrašnjosti barem jednu označenu točku.

Svakom vrhu pravilnog mnogokuta pridružen je jedan od brojeva $0$ ili $1$. Koristeći dijagonale koje se međusobno ne sijeku osim u vrhovima, Rudi dijeli mnogokut na trokute, a zatim u svaki trokut upisuje zbroj brojeva pridruženih njegovim vrhovima. Dokaži da Rudi može odabrati dijagonale kojima će podijeliti mnogokut tako da se najveći i najmanji od brojeva upisanih u dobivene trokute razlikuju za najviše $1$.

Dan je prirodni broj $M \geqslant 3$. Kažemo da je pravilni mnogokut sjajno obojan ako su sve njegove stranice i dijagonale obojane u točno $M$ boja tako da ne postoje tri vrha tog mnogokuta koja određuju trokut čije su stranice obojane u točno dvije boje.

Neka je $N$ najveći prirodni broj takav da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $N$ vrhova.

a) Dokaži da je $N \leqslant (M - 1)^2$.

b) Ako je $M - 1$ prosti broj, dokaži da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno $(M - 1)^2$ vrhova.

U konveksnom $N$-terokutu nacrtane su neke dijagonale. Za nacrtanu dijagonalu kažemo da je dobra ako se siječe s točno jednom od ostalih nacrtanih dijagonala (vrhove ne ubrajamo u sjecišta). Odredi najveći mogući broj dobrih dijagonala.

Pravilni mnogokut $\mathcal{P}$ ima $100$ vrhova od kojih je $41$ crne, a preostalih $59$ bijele boje.

Dokaži da postoje $24$ međusobno disjunktna konveksna četverokuta čiji su vrhovi vrhovi od $\mathcal{P}$ te svaki od njih ima neparan broj crnih vrhova.

Zadan je konveksan šesterokut $ABCDEF$ kojemu su sveke dvije nasuprotne stranice međusobno različitih duljina i paralelne ($AB \parallel DE$, $BC \parallel EF$ i $CD \parallel FA$). Ako je $|AE| = |BD|$ i $|BF| = |CE|$, dokaži da se šesterokutu $ABCDEF$ može opisati kružnica.

In an $n$-gon all of whose interior angles are equal, the lengths of consecutive sides satisfy the relation $$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n.$$ Prove that $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.

Let $A$ and $E$ be opposite vertices of a regular octagon. A frog starts jumping at vertex $A$. From any vertex of the octagon except $E,$ it may jump to either of the two adjacent vertices. When it reaches vertex $E,$ the frog stops and stays there. Let $a_n$ be the number of distinct paths of exactly $n$ jumps ending at $E.$ Prove that $a_{2n-1}=0,$

$$a_{2n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x^{n-1}-y^{n-1}),\quad n=1,2,3,\cdots,$$

where $x=2+\sqrt{2}$ and $y=2-\sqrt{2}.$

Note. A path of $n$ jumps is a sequence of vertices $(P_0,\ldots,P_n)$ such that

(i) $P_0=A, P_n=E;$

(ii) for every $i, 0\leq i\leq n-1, P_i$ is distinct from $E;$

(iii) for every $i, 0\leq i\leq n-1, P_i$ and $P_{i+1}$ are adjacent.

The diagonals $AC$ and $CE$ of the regular hexagon $ABCDEF$ are divided by the inner points $M$ and $N$, respectively, so that

$$\frac{AM}{AC} = \frac{CN}{CE} = r.$$

Determine $r$ if $B$, $M$, and $N$ are collinear.

Let $d$ be the sum of the lengths of all the diagonals of a plane convex polygon with $n$ vertices $(n > 3)$, and let $p$ be its perimeter. Prove that

$$n - 3 < \frac{2d}{p} < \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor - 2,$$

where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding $x$.

To each vertex of a regular pentagon an integer is assigned in such a way that the sum of all five numbers is positive. If three consecutive vertices are assigned the numbers $x, y, z$ respectively and $y < 0$ then the following operation is allowed: the numbers $x, y, z$ are replaced by $x + y, -y, z + y$ respectively. Such an operation is performed repeatedly as long as at least one of the five numbers is negative. Determine whether this procedure necessarily comes to and end after a finite number of steps.

Let $A$, $B$ be adjacent vertices of a regular $n$-gon ($n \geq 5$) in the plane having center at $O$. A triangle $XYZ$, which is congruent to and initially coincides with $OAB$, moves in the plane in such a way that $Y$ and $Z$ each trace out the whole boundary of the polygon, $X$ remaining inside the polygon. Find the locus of $X$.

Prove that there exists a convex 1990-gon with the following two properties:

(a) All angles are equal.

(b) The lengths of the 1990 sides are the numbers $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2$ in some order.

Let $ABCDEF$ be a convex hexagon with $AB = BC = CD$ and $DE = EF = FA$, such that $\angle BCD = \angle EFA = \pi/3$. Suppose $G$ and $H$ are points in the interior of the hexagon such that $\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3$. Prove that $AG + GB + GH + DH + HE \geq CF$.

Let $ABCDEF$ be a convex hexagon such that $AB$ is parallel to $DE$, $BC$ is parallel to $EF$, and $CD$ is parallel to $FA$. Let $R_A, R_C, R_E$ denote the circumradii of triangles $FAB, BCD, DEF$, respectively, and let $P$ denote the perimeter of the hexagon. Prove that

$$R_A + R_C + R_E \geq \frac{P}{2}.$$

A convex hexagon has the property that for any pair of opposite sides the distance between their midpoints is $\sqrt{3}/2$ times the sum of their lengths. Show that all the hexagon's angles are equal.

Let $P$ be a regular 2006-gon. A diagonal of $P$ is called good if its endpoints divide the boundary of $P$ into two parts, each composed of an odd number of sides of $P$. The sides of $P$ are also called good.

Suppose $P$ has been dissected into triangles by 2003 diagonals, no two of which have a common point in the interior of $P$. Find the maximum number of isosceles triangles having two good sides that could appear in such a configuration.

Assign to each side $b$ of a convex polygon $P$ the maximum area of a triangle that has $b$ as a side and is contained in $P$. Show that the sum of the areas assigned to the sides of $P$ is at least twice the area of $P$.

Let $P = A_1A_2\ldots A_k$ be a convex polygon in the plane. The vertices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ have integral coordinates and lie on a circle. Let $S$ be the area of $P$. An odd positive integer $n$ is given such that the squares of the side lengths of $P$ are integers divisible by $n$. Prove that $2S$ is an integer divisible by $n$.

Suppose that we have $n \geqslant 3$ distinct colours. Let $f(n)$ be the greatest integer with the property that every side and every diagonal of a convex polygon with $f(n)$ vertices can be coloured with one of $n$ colours in the following way:

• at least two distinct colours are used, and

• any three vertices of the polygon determine either three segments of the same colour or of three different colours.

Show that $f(n) \leqslant (n - 1)^2$ with equality for infinitely many values of $n$.

In each vertex of a regular $n$-gon there is a fortress. At the same moment each fortress shoots at one of the two nearest fortresses and hits it. The result of the shooting is the set of the hit fortresses; we do not distinguish whether a fortress was hit once or twice. Let $P(n)$ be the number of possible results of the shooting. Prove that for every positive integer $k \geq 3$, $P(k)$ and $P(k + 1)$ are relatively prime.

Let $n \geq 3$ be an integer. An inner diagonal of a simple $n$-gon is a diagonal that is contained in the $n$-gon. Denote by $D(P)$ the number of all inner diagonals of a simple $n$-gon $P$ and by $D(n)$ the least possible value of $D(Q)$, where $Q$ is a simple $n$-gon. Prove that no two inner diagonals of $P$ intersect (except possibly at a common endpoint) if and only if $D(P) = D(n)$.

Remark: A simple $n$-gon is a non-self-intersecting polygon with $n$ vertices. A polygon is not necessarily convex.

Let $n \geq 3$ be an integer. We say that a vertex $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) of a convex polygon $A_1A_2\ldots A_n$ is Bohemian if its reflection with respect to the midpoint of the segment $A_{i-1}A_{i+1}$ (with $A_0 = A_n$ and $A_{n+1} = A_1$) lies inside or on the boundary of the polygon $A_1A_2\ldots A_n$. Determine the smallest possible number of Bohemian vertices a convex $n$-gon can have (depending on $n$).

(A convex polygon $A_1A_2\ldots A_n$ has $n$ vertices with all inner angles smaller than $180°$.)

Let $n \geqslant 3$ be an integer. Zagi the squirrel sits at a vertex of a regular $n$-gon. Zagi plans to make a journey of $n - 1$ jumps such that in the $i$-th jump, it jumps by $i$ edges clockwise, for $i \in \{1, \ldots, n - 1\}$. Prove that if after $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ jumps Zagi has visited $\lceil \frac{n}{2} \rceil + 1$ distinct vertices, then after $n - 1$ jumps Zagi will have visited all of the vertices.

(Remark. For a real number $x$, we denote by $\lceil x \rceil$ the smallest integer larger or equal to $x$.)

Let $n$ be a positive integer. Prove that in a regular $6n$-gon, we can draw $3n$ diagonals with pairwise distinct ends and partition the drawn diagonals into $n$ triplets so that:

• the diagonals in each triplet intersect in one interior point of the polygon and
• all these $n$ intersection points are distinct.

There is a sheet of paper (like this one) on an infinite blackboard. Marvin secretly chooses a convex 2024-gon $P$ that lies fully on the piece of paper. Tigerin wants to find the vertices of $P$. In each step, Tigerin can draw a line $g$ on the blackboard that is fully outside the piece of paper, then Marvin replies with the line $h$ parallel to $g$ that is the closest to $g$ which passes through at least one vertex of $P$. Prove that there exists a positive integer $n$ such that Tigerin can always determine the vertices of $P$ in at most $n$ steps.

Dokažite da se svaki poligon opsega $1$ može prekriti krugom polumjera $\frac{1}{4}$.

Zadan je konveksan peterokut $ABCDE$. Neka su $M$, $N$, $P$, $Q$ redom polovišta stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$ te neka su $R$ i $S$ polovišta dužina $\overline{MP}$ i $\overline{QN}$. Pokažite da je $$|SR| = \frac{1}{4} |AE|.$$

Izračunajte površinu šrafiranog lika na slici ako stranica pravilnog šesterokuta ima duljinu $a$.

Dan je pravilni deveterokut sa stranicom duljine $a$. Kolika je razlika duljina njegove najdulje i najkraće dijagonale?

U šesterokutu $ABCDEF$ vrijedi $$AB \perp BC, \quad AC \perp CD, \quad AD \perp DE, \quad AE \perp EF.$$

Ako su duljine stranica tog šesterokuta prirodni brojevi, dokaži da ne mogu svi biti neparni.

Izvan pravilnog mnogokuta $A_1A_2\ldots A_n$ nalazi se točka $B$ takva da je trokut $A_1A_2B$ jednakostraničan. Odredi sve $n$ za koje su točke $B$, $A_2$ i $A_3$ uzastopni vrhovi nekog pravilnog mnogokuta.

Dan je šesterokut $ABCDEF$ čije se dijagonale $\overline{AD}$, $\overline{BE}$ i $\overline{CF}$ sijeku u jednoj točki koja je ujedno polovište svake od tih dijagonala.

Dokaži da je površina danog šesterokuta dvostruko veća od površine trokuta $ACE$.

Dan je konveksan mnogokut s 2022 vrha kojem se nikoje tri dijagonale ne sijeku u istoj točki. Potrebno je obojiti neke dijagonale crveno tako da iz svakog vrha izlazi barem jedna crvena dijagonala.

Koliko je najmanji mogući broj sjecišta (u vrhu ili unutrašnjosti) crvenih dijagonala?

Neka je $ABCDE$ pravilni peterokut i neka je $F$ točka unutar njega takva da je trokut $ABF$ jednakostraničan. Odredi kutove trokuta $DEF$.

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Neka je $ABCDE$ konveksan peterokut kojemu su sve stranice sukladne, a kutovi pri vrhovima $C$ i $D$ pravi. Ako je $P$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$, dokaži da je $|PA| = |PD|$.

Dokaži da među bilo kojih pet vrhova pravilnog deveterokuta postoje četiri koja su vrhovi trapeza.

Neka je $ABCDEF$ pravilni šesterokut sa središtem $O$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{DE}$, a $L$ točka presjeka pravaca $AM$ i $BN$. Dokažite:

(a) $P(ABL) = P(DMLN)$;

(b) $\measuredangle ALD = \measuredangle OLN = 60^\circ$;

(c) $\measuredangle OLD = 90^\circ$.

Neka je $P$ poligon u koordinatnom sustavu u ravnini čija je površina veća od $1$. Dokažite da postoje dvije različite točke $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ poligona $P$ takve da su $x_1 - x_2$ i $y_1 - y_2$ cijeli brojevi.

Pojedini dijelovi pravilnog peterokuta $ABCDE$ imaju površine označene sa $x$, $y$, $z$ kao na slici. Ako je zadana površina $x$, nadite površine $y$ i $z$, te površinu cijelog peterokuta.

Manda je, za odabrani prirodni broj $n > 3$, izradila sve stranice i sve dijagonale pravilnog $n$-terokuta od tankog pruća. Zatim je Ivan tih $\frac{1}{2}n(n - 1)$ štapova podijelio u grupe po tri štapa tako da se od svake grupe može napraviti trokut.

Za koje je brojeve $n$ to moguće?

Neka je $n$ prirodni broj. Ako pravilan $n$-terokut podijelimo na $n-2$ trokuta povlačenjem $n-3$ dijagonala koje nemaju zajedničkih unutarnjih točaka kažemo da smo dobili triangulaciju. Triangulacija $n$-terokuta kojem su neki od vrhova crveni je dobra ako svaki od tih $n-2$ trokuta ima barem dva crvena vrha.

Odredi najmanji prirodni broj $k$, u ovisnosti o $n$, takav da možemo obojiti $k$ vrhova pravilnog $n$-terokuta crveno tako da postoji barem jedna dobra triangulacija.

Svi vrhovi šesterokuta $ABCDEF$ leže na kružnici promjera $\overline{AD}$. Pravac $BF$ siječe pravce $AD$ i $CE$ redom u točkama $G$ i $H$. Ako je $\measuredangle FEH = 56°$, $\measuredangle DGB = 124°$ i $\measuredangle DEC = 34°$, odredi $\measuredangle CEB$.

Kvadar je presječen ravninom tako da je presjek pravilni šesterokut. Dokažite da je to moguće samo ako je kvadar kocka.

Pravilni poligon s $2005$ stranica ima vrhove obojane crvenom, bijelom i plavom bojom. "Dozvoljenim bojanjem" zovemo bojanje u kojem dva susjedna vrha, koja su obojana različitim bojama, obojimo trećom bojom.

a) Dokažite da postoji konačan niz "dozvoljenih bojanja" nakon kojeg su svi vrhovi poligona iste boje.

b) Je li ta boja jednoznačno određena početnim rasporedom boja vrhova?

Neka je $C$ prirodni broj manji od 2017. Točno $C$ vrhova pravilnog 2017-erokuta je crveno, a svi ostali vrhovi su plavi. Dokaži da broj jednakokračnih trokuta čija su sva tri vrha iste boje ne ovisi o rasporedu crvenih i plavih vrhova.

Baza piramide je pravilni $n$-terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n \geqslant 4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.