Search

Neka je $ABC$ šiljastokutni trokut i neka su $A_1$, $B_1$, $C_1$ redom točke na njegovim stranicama $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$.

Dokaži da su trokuti $ABC$ i $A_1B_1C_1$ slični ($\measuredangle A = \measuredangle A_1$, $\measuredangle B = \measuredangle B_1$, $\measuredangle C = \measuredangle C_1$) ako i samo ako se ortocentar trokuta $A_1B_1C_1$ podudara sa središtem opisane kružnice trokuta $ABC$.

Neka je $ABCD$ konveksni četverokut čije se dijagonale sijeku u točki $E$. Pravci $AB$ i $CD$ sijeku se u točki $P$, a pravci $AD$ i $BC$ u točki $Q$. Neka je $X$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EBC$ i $EDA$ različito od $E$, a $Y$ sjecište kružnica opisanih trokutima $EAB$ i $ECD$ različito od $E$. Konačno, neka je $W$ sjecište kružnica opisanih trokutima $PBC$ i $PDA$ različito od $P$. Dokaži da su trokuti $WQY$ i $WXP$ slični.

Let $A_0B_0C_0$ and $A_1B_1C_1$ be any two acute-angled triangles. Consider all triangles $ABC$ that are similar to $\triangle A_1B_1C_1$ (so that vertices $A_1, B_1, C_1$ correspond to vertices $A, B, C$, respectively) and circumscribed about triangle $A_0B_0C_0$ (where $A_0$ lies on $BC$, $B_0$ on $CA$, and $AC_0$ on $AB$). Of all such possible triangles, determine the one with maximum area, and construct it.

Spojnice središta trokuta upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Dan je jednakokračan trokut $ABC$ kojemu je $\overline{BC}$ osnovica. S vanjske strane tog trokuta nacrtani su jednakokračni trokuti $CBD$, $ACE$ i $BAF$ slični trokutu $ABC$, kojima su osnovice redom $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{BF}$. Ako je $\measuredangle CAB = 38°$, odredi $\measuredangle EDF$.

Na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $P_1$, $P_2$ i $P_3$ tako da vrijedi

$$|AP_1| = |P_1P_2| = |P_2P_3| = |P_3B| = \frac{1}{4}|AB|.$$

Tim točkama povučene su paralele sa stranicom $\overline{BC}$, koje dijele trokut na četiri dijela. Površina dijela koji se nalazi između paralela kroz $P_2$ i $P_3$ iznosi $5$.

Kolika je površina trokuta $ABC$?

Nad stranicama trokuta $ABC$ konstruirani su slični trokuti $ABD$, $BCE$, $CAF$ ($k = |AD| : |DB| = |BE| : |EC| = |CF| : |FA|$; $\alpha = \measuredangle ADB = \measuredangle BEC = \measuredangle CFA$). Dokažite da su polovišta dužina $\overline{AC}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ i $\overline{EF}$ vrhovi paralelograma, čiji je jedan kut jednak $\alpha$, a omjer duljina odgovarajućih stranica $k$.

Zadan je trokut $A_0B_0C_0$ s kutovima $\alpha = 40°, \beta = 60°, \gamma = 80°$. Neka su $A_1, B_1, C_1$ nožišta visina tog trokuta. Na isti način se polazeči od trokuta $A_1B_1C_1$ konstruira trokut $A_2B_2C_2$, zatim redom trokuti $A_3B_3C_3, \ldots$. Dokažite da je trokut $A_{1995}B_{1995}C_{1995}$ sličan trokutu $A_0B_0C_0$.