Grade 9 2012

Odredi sve parove $(x, y)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$6x^2y^2 - 4y^2 = 2012 - 3x^2.$$

Dokaži da za sve realne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi $$\frac{1}{3}(a + b + c)^2 \leqslant a^2 + b^2 + c^2 + 2(a - b + 1).$$

Svaka znamenka prirodnog broja $n$ (osim prve) strogo je veća od znamenke koja se nalazi neposredno lijevo od nje. Odredi zbroj svih znamenaka broja $9n$.

Neka je trokut $ABC$ s tupim kutom kod vrha $B$, neka su $D$ i $E$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom, $F$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\measuredangle BFE$ pravi, te $G$ točka na dužini $\overline{DE}$ takva da je kut $\measuredangle BGE$ pravi.

Dokaži da točke $A$, $F$ i $G$ leže na istom pravcu ako i samo ako je $2|BF| = |CF|$.

Azra je zamislila četiri realna broja i na ploču zapisala zbrojeve svih mogućih parova zamišljenih brojeva, a zatim obrisala jedan od tih zbrojeva. Na ploči su ostali brojevi $-2$, $1$, $2$, $3$ i $6$. Koje je brojeve Azra zamislila?