Grade 10 1994

Odredite sve kompleksne brojeve $z$ takve da vrijedi $$|z^2 + 1| = 2|z| \quad \text{i} \quad |z - 3i| = \sqrt{10}.$$

Neka je $f: \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ kvadratna funkcija $f(x) = ax^2 + bx + c$. Označimo sa $D$ diskriminantu, sa $P$ umnožak, a sa $S$ zbroj njezinih nultočaka. Pokažite da postoji samo jedna funkcija $f$ za koju su $a, D, P, S$ četiri uzastopna cijela broja (u rastućem poretku).

Odredite šiljaste kutove pravokutnog trokuta kojemu se polumjeri opisane i upisane kružnice odnose kao $5:2$.

Riješite jednadžbu $$\frac{3}{2} \log_{\frac{1}{4}}(x + 2)^2 - 3 = \log_{\frac{1}{4}}(4 - x)^3 - \log_4(x + 6)^3.$$