Grade 10 2016

Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi takvi da je $a + 2b + c > 0$ i $a - 2b + c < 0$. Dokaži da vrijedi $b^2 > ac$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m, n)$ za koje postoje cijeli brojevi $a$, $b$ i $c$ takvi da vrijedi $$a + b + c = 0 \quad \text{i} \quad a^2 + b^2 + c^2 = 2^m \cdot 3^n.$$

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| > |AC|$. Neka je $t$ tangenta na opisanu kružnicu trokuta $ABC$ u točki $A$. Kružnica sa središtem u točki $A$ koja prolazi točkom $C$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točki $D$, a pravac $t$ u točkama $E$ i $F$ tako da su $C$ i $E$ s iste strane pravca $AB$. Dokaži da središte upisane kružnice trokuta $ABC$ leži na pravcu $DE$.

Odredi sve trojke pozitivnih realnih brojeva $(x, y, z)$ takve da vrijedi $$x^3 + 2y^2 + \frac{1}{4z} = 1, \quad y^3 + 2z^2 + \frac{1}{4x} = 1, \quad z^3 + 2x^2 + \frac{1}{4y} = 1.$$

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.